§ 8. Поняття загальнозначущої формули логіки предикатів
Основою аналізу міркувань (встановлення їх правильності або неправильності) засобами логіки предикатів є поняття “загальнозначуща формула”.
Поняття “загальнозначуща формула” визначають через поняття “інтерпретація”.
Висловлювання 5 називають ітерпретацією формули логіки предикатів Ψ стосовно деякої.множини (предметної області) індивідів D. якшо 5 отримують із Ψ шляхом: а") заміни предикатних констант формули Ψ на імена властивостей, шо визначені (притаманні) для індивідів множини (або деякої предметної області) D; б) заміни індивідних констант формули Ψ відповідними іменами індивідів, шо належать до D. Після такої заміни говорять, шо формула логіки предикатів Ψ є загальнозначушою. якшо вона перетворюється на істинневисловлювання за будь-якої інтерпретації в будь-якій (не пустій) предметній області індивідів.
Наприклад, формула Qa очевидно не буде загально- значушою формулою. Нехай: а) областю інтерпретації D (тобто, множиною індивідів, по якій “пробігає" змінна “х”) будуть люди; б) “Q” замішує властивість “бути французом"; в) “а” іменує Арістотеля. За таких умов інтерпретації “Ой” перетворюється на хибне висловлювання “Арістотель — француз”.
Розглянемо іншу формулу:
Нехай: а) областю інтерпретації D будуть люди; б) “Q" заміщує властивість “бути смертним”; в) “й” іменує Арістотеля. За такої інтерпретації формула перетворюється на істинне висловлювання “Якщо всі люди смертні, тоді Арістотель смертний”.
Залишимо ту ж саму область інтерпретації D, але нехай “Q” замішує властивість “бути французом”, а “й” іменує Арістотеля. Тоді формула Vx Qx о Ой знову перетвориться на істинне висловлювання “Якщо всі люди є французами, тоді Арістотель є французом”.
Задамо іншу область інтерпретації D.
Нехай: a) D — це додатні цілі числа; б) “О” заміщує властивість “бути простим числом”; в) “а” іменує число 4. Тоді, за такої інтерпретації, формула Vx Qx ⊃ Ой знову перетвориться на істинне висловлювання “Якщо всі додатні цілі числа є простими, тоді 4 є простим числом”.Дійсно, формула Vx Qx ⊃ Qfl стає істинним висловлюванням за будь-якої інтерпретації відносно будь-якої предметної області і, отже, є загальнозначушою формулою.
Нагадаємо: міркування, що аналізують засобами логіки висловлювань, є правильним, якшо відповідна (цьому міркуванню) імплікативна формула логіки висловлювань є тавтологією (логічним законом або завжди істинною формулою). Так само, міркування, яке аналізують засобами логіки предикатів буде правильним, якщо відповідна (цьому міркуванню) імплікативна формула логіки предикатів є загальнозначушою формулою. Однак, необхідно зазначити, шо в логіці предикатів відсутня якась одна, загальноприйнята технічна (механічна) процедура (процедура розв’язуваності), за допомогою якої ми могли б однозначно встановлювати, чи є деяка формула логіки предикатів загальнозначушою формулою’.