Обсяг поняття. Елементи теорії множин

Зупинимося на другому елементові логічної структури поняття, на обсязі поняття.

О б с я г о м поняття називається множина пред­метів, кожен з яких є носієм ознак, що складають зміст поняття.

Наприклад, до обсягу поняття «столиця» входять предмети: «Київ», «Варшава», «Париж». Але до обсягу цього поняття не ввійдуть предмети: «Харків», «Краків», «Нью-Йорк» тощо, тому що жоден з цих предметів не є но­сієм ознаки «бути столичним містом».

Як ви звернули увагу, у самому визначенні обсягу по­няття фігурує термін «множина». Справа у тому, що обся­гом будь-якого поняття є деяка множина, а тому це дає можливість вивчити природу обсягу поняття, змоделювати його структурні, функціональні особливості на такому об’єкті, як множина. Тобто, надалі для нас обсягом понят­тя буде множина і ми будемо з нею поводитися як обсягом конкретних понять. Така точка зору зумовлює необхідність визначити такий об’єкт, як множина, і охарактеризувати основні її ознаки.

М н о ж и н о ю називається будь-яка сукупність ви­значених і розрізнюваних між собою об’єктів, мислимих як єдине ціле. Множина — це абстракція, в якій кожний предмет, що входить до неї, розглядається лише з точки зору тієї ознаки, яка дозволила включити його до свого складу. Тому предмети, що складають множину, не розріз­нювані між собою (їм приписуються одні й ті самі ознаки).

Наприклад, множина книг, множина держав, множина рослин тощо. Для кожного із предметів, що входять у пе­рераховані множини, характерним є те, що для них усіх притаманні ознаки, на основі яких утворені ці множини: «бути книгою», «бути державою», «бути рослиною».

Можна сказати, що предмети, які входять до множини, розрізняються між собою. Але це розрізнення один від од­ного відбувається не за властивостями і відношеннями, а за їх іменами. Так, у множині держав кожний із предметів як носій ознаки «бути державою» не відрізняється від ін­шого, але відрізняється як індивідуальність, як носій вла­сного імені («Україна», «Франція», «Аргентина» тощо).

Предмети, що належать до певної множини, назива­ються елементами. Позначають їх малими буквами ла­тинського алфавіту —

Самі множини позначають великими буквами латинсь­кого алфавіту —

Множина, яка містить кінцеве число елементів, на­зивається скінченною (наприклад, множина планет Со­нячної системи; множина формально-логічних законів то­що). А множина, яка має нескінченне число елементів, називається нескінечною (наприклад, множина чисел, множина зірок тощо).

Оскільки множини можуть складатися з об’єктів різно­манітної природи, це визначає їх універсальний характер і, як наслідок, дає можливість застосовувати в різноманіт­них галузях (математиці, біології, лінгвістиці тощо), а не тільки в логіці.

Між множиною та її елементом існує відношення нале­жності. Належати до множини — це означає бути носі­єм ознаки, на підставі якої ця множина утворена. Від­ношення належності позначається знаком « ∈ ». Факт належності елемента «х» до множини «А» записується так: «х ∈ А». Факт неналежності елемента «х» до множи­ни «А» має вигляд:

Якщо дві множини А і В складаються з одних і тих са­мих елементів, то вони вважаються рівними: «А = В», а якщо ні, то: «А ≠ В».

Існує два найуживаніших способи задання множин. Пер­ший полягає у простому перерахуванні елементів, що скла­дають дану множину. Наприклад, множина арифметичних дій, множина планет Сонячної системи тощо. Відповідно записується: А = {х1, х₂, х₃, х.₄}, В = { х₄, х₂, х₃,... х₉ }.

Отже, цей спосіб ефективний, коли мають справу із скінченними множинами. Коли ж розглядаються нескін­ченні множини, той цей спосіб не підходить. У цих випа­дках користуються іншим способом, який полягає у за- данні множини через характеристичну властивість.

Характеристичною називається властивість, яка на­лежить будь-якому елементу даної множини, і не на­лежить жодному предмету, що не входить до неї. За­писується це так:

— «множина усіх «х», що мають властивість «А».

Спеціально необхідно виділити універсальну множину, тобто множину, яка складається із усіх елементів до­сліджуваної предметної області. Позначається універса­льна множина буквою «U», а графічно зображується мно­жиною точок у середині прямокутника:

Окрім універсальної множини виділяють порожню множину, тобто множину, яка не містить жодного елемента (наприклад, «дерево, яке проводить електрич­ний струм», «метал, який легший повітря» тощо). По­значається порожня множина символом: 0.

Будь-яку частину множини називають підмножиною. Якщо універсальну множину задати характеристичною властивістю Q:

то множини А, В, С..., що є частинами універсальної множини U, визначаються властивостями відповідно:

Тоді підмножину «А» визначаємо:

— читається: «А» за визначення є множиною усіх тих і тільки тих «х», які належать до «U» і мають властивість Q(a)». Наприклад, якщо «U» — множина всіх геометрич­них фігур, «Q(a)» — «мати при перетині діагоналей прямі кути», то «А» — множина квадратів.

Якщо властивості, якими задані деяка множина і її підмножини співпадають, то ці множини будуть рівні. У цьому випадку говорять, що множина є частиною самої себе, або повною частиною. А у тому випадку, якщо влас­тивість, якою задається деяка підмножина суперечить властивості, за допомогою якої задана сама множина, то така підмножина буде порожньою.

Повна і порожня частини називаються невласними підмножинами. Решта підмножин є власними.

За формулою 2ⁿ можна вирахувати кількість під­множин будь-якої множини (2 вказує на кількість не­власних підмножин: саму множину, як частину самої себе; і порожню множину 0), а n — число елементів, що входить у множину. Наприклад, маємо множину «А» із трьох елементів {1, 2, 3}. Застосуємо формулу 2ⁿ для ви­значення кількості підмножин цієї множини: 2³ = 8. За­пишемо всі підмножини множини «А»:

Між множинами існує відношення включення. Множина «А» включена у множину «В» тоді і тільки тоді, коли кож­ний елемент множини «А» є елементом множини «В». По­значається відношення включення символом « ⊂ ». Запису­ється факт включення «А» у «В» таким чином: «А ⊂ В». При цьому «А» називається підмножиною, а «В» — над- множиною.

Відношення включення буває двох видів:

а) включення в широкому смислі, і

б) включення у вузькому смислі.

«А» включається у «В» в широкому смислі тоді і тіль­ки тоді, коли «А» включається у «В» і не виключено, що «А = В». Ця ситуація записується так:

«А» включається у «В» в вузькому смислі, або суворо, тоді і тільки тоді, коли «А ≠ В», (тобто у «В» існують елементи, які не належать «А»). Записується це так: «А ⊂ В».

Як уже зазначалося, зміст поняття відображає власти­вості предметів або відношення між ними. Коли предмет позначити через «х», а його властивість через «Q», то об­сягом поняття буде множина, кожний елемент якої, буду­чи підставлений на місце «х» у формулі, даватиме

істинне судження.

Наприклад, нехай у формулі— представляє

властивість «бути планетою», тоді замість «х» можна підставити імена предметів: «Земля», «Марс», «Юпітер» тощо, і при цьому отримаємо істинні судження («Земля

— планета», «Марс — планета», «Юпітер — планета» тощо).

Треба зауважити, що вираз _, близький за смислом до виразу «х ∈ Q». Так, коли говорять про властивість «бути планетою», мають на увазі множину предметів, кожному з яких притаманна ця властивість:

— «х є елементом множини Q тоді і тільки тоді, коли х має властивість Q». А оскільки обсяг поняття склада­ють тільки ті предмети, яким належить ознака, то справедливим буде твердження:

— «кожний предмет такий, що коли він є елементом обсягу поняття, то йому належить ознака, що складає зміст цього поняття».

Якщо врахувати все це і звернутися до понятійної фун­кції, то стає очевидним, що обсягом поняття є значення понятійної функції:

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

145

6.