Інтерпретація формул пропозиційної логіки

Інтерпретацією (від лат. Interpretatio - роз’яснення, тлумачення) формули логіки висловлювань називається таке приписування значень істинності усім її атомарним підформулам, при якому кожна з них отримує значення «істина» або «хиба», а потім визначається значення істинності усієї молекулярної формули.

До правил інтерпретації логіки висловлювань відносяться:

- правило інтерпретації пропозиційних змінних й

- правило інтерпретації пропозиційних зв’язок.

Правило інтерпретації пропозиційних змінних полягає у тому, іцо кожна пропозиційна змінна може мати одне із двох значень: або «істину» («і»), або «хибу» («х»), але не те й інше одночасно.

Правилами інтерпретації пропозиційних зв’язок є таблиці істинності. Це такий вид таблиць, за допомогою якого встанов­люється істиннісне значення складного описового висловлю­вання при даних значеннях простих описових висловлювань, що входять до його складу.

За допомогою методу таблиць істинності визначають логічні сполучники. Табличне визначення основних логічних сполучників:

Заперечення - це логічний сполучник, який перетворює істинне описове висловлювання на хибне, а хибне - на істинне. Оскільки знак заперечення ставиться перед описовим висловлю­ванням, його ще називають зовнішнім запереченням.

Приклади: просте описове висловлювання «Амазонка - велика ріка (А)» є істинним, а просте описове висловлювання «Дніпро впадає в Балтійське море (А)» - хибне. Вдавшись до логічної операції зовнішнього заперечення над простими описовими висловлюваннями, перетворимо істинне просте описове висловлювання на хибне: «Невірно, що Амазонка - велика ріка (~А)», хибне - в істинне: «Невірно, що Дніпро впадає в Балтійське море (~А)».

Таблиця істинності для заперечення:

У природній мові формулі ~А, окрім виразу «Невірно, що А», можуть відповідати також вирази «Неправильно, що А», «А не має місця», «не-А».

Кон’юнкція (від лат. Conjunctio - зв’язка, з’єднання) - це логічний сполучник, який є істинним лише у тому випадку, коли усі його складники є істинними. В усіх інших випадках цей логічний сполучник є хибним.

Таблиця істинності для кон’юнкції:

припиняються (В)», «Якщо Олександр Македонський був у Єгипті (А), тоді (->) він бачив піраміди (В)» будуть хибними лише за умови, коли перше просте описове висловлювання є істинним, а друге - хибним, й істинними в усіх інших випадках.

Таблиця істинності для імплікації:

Таблиця істинності для еквіваленції:

Формуліу природній мові можуть відповідати такі вирази:

«А, якщо і тільки якщо В», «Якщо А тоді В, і навпаки», «А, якщо В, і В, якщо А», «Для А необхідно і достатньо В», «А еквівалентно В».

Логічні сполучники відіграють у логіці висловлювань настільки важливу роль, що це послужило підставою для такого її визначення:

Пропозиційна логіка - це теорія смислу логічних сполуч­ників деяких безособових зворотів, за допомогою яких утворю­ються складні речення. Припускають, що смисл складного речен­ня залежить від сполучників й може змінюватися зі зміною спо­лучного слова.

Як бачимо, логіка висловлювань не може повністю абстрагува­тись від смислу описового висловлювання. Вона обов’язково повинна враховувати, в якому ж смислі вживаються граматичні сполучники, знаки пунктації й відповідні їм логічні сполучники: єднальному, розділовому, умовному тощо.

За семантичними ознаками правильно побудовані формули у логіці висловлювань поділяють на три групи:

- тотожно-істинні (або тавтології, або логічні тотожності, або логічні закони, або загальнозначущі формули);

- тотожно-хибні (або логічні протиріччя, або незагальнозначущі формули, або невиконувані формули);

- нейтральні (або правдоподібні формули, або виконувані фор­мули, або виконувані висловлювання, або фактичні висловлювання, або невизначені висловлювання).

Логічні закони - це складні описові висловлювання, істинність яких не залежить від логічних значень їхніх складників. Закони логіки - це заводи істинні висловлювання.

Логічні протиріччя - це складні описові висловлювання, хибність яких не залежить від логічних значень їхніх складників. Вони заводи є хибними висловлюваннями.

Виконувані висловлювання - це складні описові висловлювання, логічні значення яких можуть змінюватися залежно від логічних значень їхніх складників. У зв’язку з цим вони бувають як істинними, так й хибними.

За допомогою методу таблиць істинності можна визначити, чи є складне описове висловлювання логічним законом, логічним проти­річчям або виконуваною формулою.

Якщо в результаті побудови таблиці істинності для деякого складного описового висловлювання з’ясується, що воно набуває значення «істина», незалежно від того, яких логічних значень набувають його складники, тоді таке складне описове висловлювання є логічним законом. У цьому випадку в останньому стовпчику таблиці повинні бути лише істинні значення.

Приклад: побудуємо таблицю істинності для формули

На підставі наведеної таблиці можна визначити, що формула є логічним законом.

Якщо в результаті побудови таблиці істинності для деякого складного описового висловлювання з’ясується, що воно набуває значення «хиба», незалежно від того, яких логічних значень набувають його складники, тоді таке складне описове висловлювання € логічним протиріччям. У цьому випадку в останньому стовпчику таблиці повинні бути лише хибні значення.

Приклад: побудуємо таблицю істинності для формули

На підставі наведеної таблиці можна визначити, що формула є логічним протиріччям.

Якщо в результаті побудови таблиці істинності для деякого складного описового висловлювання з’ясується, що воно змінює своє логічне значення, залежно від того, яких логічних значень набувають його складники, тоді таке складне описове висловлювання буде виконуваним висловлюванням. У цьому випадку в останньому стовпчику таблиці можуть бути як істинні, так й хибні значення.

Приклад: побудуємо таблицю істинності для формули

На підставі наведеної таблиці можна визначити, що формула є виконуваним висловлюванням.

2.1.4.