Мова алгебраїчної системи логіки предикатів

Знайомство з S⁴ розпочнемо із Sin ML. Синтаксис ме­тамови алгебраїчної системи логіки предикатів склада­ється із:

1) списку вихідних символів;

2) правил утворення термінів;

3) правил утворення формул.

Розглянемо по порядку кожен із компонентів.

До вихідних символів відносяться:

а) предметні змінні — х₁, х₂,..., х_п (нескінченна мно­жина);

б) предметні константи — а₁, а₂,..., а_п (кінечна або нескінченна множина; є мови, де символи такого рангу не вводяться);

в) предикатні символи (предикатори різних місткостей, на які вказують верхні числові індекси):

(для зручності будемо використовувати предикатні симво­ли ^p, ^q, R, S і при необхідності — верхні індекси для вка­зівки місткості);

г) знаки предметних функцій (предметні функтори рі­зних місткостей):

синтаксичними змінними, що мають значеннями вирази відповідних категорій об’єктної мови. Формули А і В, що зустрічаються в дефініції формули, називають підформу- лами відповідних формул.

Вважається, що введені визначення вихідного символу, терму і формули є ефективними або рекурсивними.

Під рекурсивністю поняття розуміють, що існує чі­ткий спосіб, за допомогою якого завжди можна встано­вити, чи є даний символ вихідним, чи термом, чи фор­мулою.

Введемо поняття «зв’язаної змінної» і «вільної змінної».

Індивідна змінна, яка входить до області дії кванто­ра по цій змінній, зв’язується цим квантором. Таке входження називається зв’язаним.

Змінна, яка не входить у дію відповідного квантора, називається вільною.

Одна і та сама змінна в конкретній формулі може мати зв’язане і вільне входження.

Наприклад:

Справжніми змінними є тільки вільні змінні.

Зв’язані змінні називаються фіктивними змінними.

У загальному розумінні змінна — це те, замість чого можна підставити одне із його значень і отримати осмис­лене висловлювання. Вільні змінні задовольняють цю умо­ву, а зв’язані — ні.

змінних. Тобто, вони по-різному виражають одне й те саме висловлювання. Такі формули називають конгруентними (подібними).

Виходячи з цього, можна сформулювати правило пере­йменування зв’язаних змінних:

«Усі зв’язані входження змінної х до формули можна замінити входженням іншої змінної, при цьому отри­маємо формулу, конгруентну вихідній».

Наприклад, маємо формулу:

Замінимо в ній зв’язану індивідну змінну х на індивід- ну змінну у. Отримаємо формулу, яка буде конгруентна даній:

Якщо формула або терм не мають вільних змінних, то вони відповідно називаються «замкненою форму­лою» і «замкненим термом».

Зауважимо, що S⁴ є мовою першопорядкової логіки предикатів. Суть цієї назви полягає в тому, що в даній мові дозволяється зв’язувати квантором лише предметні змінні.

Систему S⁴ можна розширити за рахунок введення предметно-функціональних і предикаторних змінних і до­зволу їх квантифікувати. Тоді матимемо мову логіки пре­дикатів більш високого гатунку.

Наприклад, логічною формою висловлювання «Деякі риси вчення Платона притаманні вченню Арістотеля» буде —

де Р — предикаторна змінна, що пробігає по множині вла­стивостей, а предметним константам а і в відповідають імена «Платон» і «Арістотель».

Мову логіки предикатів першого порядку можна моди­фікувати іншим чином. Запишемо в списку нелогічних символів лише предметні змінні. Замість предметних конс­тант введемо конкретні імена, замість предметно- функціональних констант — предметні функтори, замість предикаторних констант — предикатори природної мови. Перетворення термів і формул зберігається з тією лише рі­зницею, що там, де раніше йшлося про параметри відпові­дних видів, тепер маються на увазі нелогічні терміни при­родної мови. Отримана в результаті такої перебудови мова називається прикладною першопорядковою мовою логіки предикатів.

Для мови логіки предикатів характерним є префіксне вживання предметно-функціональних символів у складних термах і предикаторних символів у атомарних формулах:

У природній мові префіксне вживання предметних фун- кторів і предикаторів зустрічається рідко. Тому прикладна мова логіки предикатів може бути наближена до природної мови за рахунок відмови від обов’язкового префіксного ви­користання предметно-функціональних і предикаторних символів.

Наприклад, запис «Квадрат t» можна замінити на більш звичний — «t²», запис «давньогрецький філософ t » — на «t² — давньогрецький філософ», запис «Сучасник (t₁,t₂)>> — на «t ₁ сучасник t₂ ».

2.