Семантика алгебраїчної системи логіки предикатів

Зупинимося на характеристиці семантики S⁴. Вихідним етапом у побудові будь-якої логічної теорії є задання множи­ни допустимих інтерпретацій її нелогічних символів. Це означає вказати, які типи об’єктів можуть бути співставлені в якості значень нелогічних термінів різних категорій.

Якщо в класичній логіці висловлювань кожній пропо- зиційній змінній співставляється один із двох абстрактних об’єктів «істина» або «хиба», то у логіці предикатів про­цедурі інтерпретації нелогічних термінів передує вибір де­якої непорожньої множини, яка називається областю ін­терпретації або універсумом розгляду (міркування).

Єдина умова, яка ставиться до області інтерпретації (позначимо її символом U), — це непорожність U (тобто наявність хоча б одного елемента). Таким чином, у логіці предикатів в якості універсуму розгляду може виступати довільна непорожня множина (наприклад, множина міст, множина зірок, множина історичних подій, множина лю­дей тощо).

Інтерпретація нелогічних символів в S⁴ релятивізується відносно деякого наперед вибраного універсуму U. Симво­лам нелогічних термінів в якості значень співставляються лише об’єкти, що задані відповідним чином на множині U.

Як уже зазначалося, нелогічні терміни в S⁴ поділяються на константи (предметні, предметно-функціональні та пре- дикаторні) і змінні. Встановлено, що константи не можуть зв’язуватися кванторами. Змінні (а їх в S⁴ один вид — предметні) зв’язуються кванторами. Вільні входження предметних змінних не є, із змістовної точки зору, пара­метрами конкретних імен, а виконують, по суті, роль не- визначених займенників, які можна замінювати різними іменами.

Приписування значень нелогічним константам у S⁴ здійснюється за допомогою спеціальної семантичної функ­ції, яка називається інтерпретаційна функція. Познача­ється вона символом I.

Роль функції І полягає в співставленні кожній нелогі­чній константі деякого об’єкта, який заданий на обла­сті інтерпретації U.

Будь-яка константа в S⁴ повинна мати той самий тип значення, що і вираз відповідної категорії природної мови. Іншими словами, функція І задається таким чином, що значення предметних констант виявляється однотипним зі значенням імен, значення предметно-функціональних кон­стант — зі значеннями предметних функторів, значення предикаторних констант — зі значенням предикаторів.

Оскільки предметні константи є параметрами імен, а значеннями імен є окремі предмети, то предметним конс­тантам в якості значень приписуються індивіди, але не будь-які, а ті, що містяться в множині U.

Наприклад, якщо U — множина космічних об’єктів, то функція І може приписати в якості значення предметній константі а такий індивід, як «Марс», а константі в — «Венера» або який-небудь інший індивід.

Дефініція інтерпретації предметної константи. «Функція І співставляє кожній предметній константі довільний елемент множини U, тобто I(k) ∈ U, (де k — предметна константа, ∈ — знак належності до мно­жини)».

Як зазначалося вище, предикаторні константи є пара­метрами предикаторів природної мови. Звідси:

а) одномісній предикаторній константі функція І співставляє довільну множину (можливо порожню) еле­ментів універсуму U. Інакше кажучи, значеннями од­номісної предикаторної константи є деяка підмножина множини U;

б) двомісній предикаторній константі функція І спі- всталяє довільну множину пар, які складаються із еле­ментів U. Виходить, що значенням двомісної предика- торної константи при інтерпретації І є довільна підмножина (можливо порожня) множини U;

в) трьохмісній предикаторній константі функція І співставляє трійки предметів із множини U. Тобто, значенням такої константи є довільна підмножина множини всіх трійок, складених із елементів U.

Проілюструємо сказане на конкретних прикладах.

Випадок перший. Маємо одномісну предикаторну конс­танту P¹ і U, що складається із множини космічних об’єктів. Функція І може приписати константі P¹ 1) поро­жню множину, 2) множину планет, 3) множину зірок, 4) множину всіх космічних об’єктів (оскільки будь-яка мно­жина є підмножиною самої себе).

Випадок другий. Універсальна множина є множиною людей. Тоді двомісній константі P² функція І співставить 1) множину таких пар людей, які є сучасниками, 2) мно­жину таких пар людей, які є ровесниками.

Випадок третій. Маємо трьохмісний предикатор P³ і універсальну множину U, яка є множиною усіх міст. Тоді функція І співставить P³ множину трійок міст, наприклад, з яких перше розташоване між другим і третім (Київ між Москвою і Одесою).

Дефініція інтерпретації предикатної константи. «Кожній n-місткій предикаторній константі П інтер- претаційна функція І співставляє в якості значення до­вільну множину послідовностей, які складаються із n таких об’єктів, що є елементами універсуму Ua.

Розглянемо інтерпретацію предметно-функціональних констант. Предметно-функціональні константи — це параметри предметних функторів природної мови, які представляють функції, аргументами яких є індивіди.

При інтерпретації предметно-функціональних конс­тант y S⁴ їм також будуть співставлятися предметні фун­кції відповідних місткостей, які релятивізовані стосовно U. Аргументами і значеннями цих функцій є елементи U. Такі функції називають операціями, які задані на множині U.

Звернемося до прикладу. Якщо U є множина натураль­них чисел, одномісткій предметно-функціональній конста­нті f¹ інтерпретаційна функція І може співставити опера­цію піднесення в квадрат. А якщо взяти двомістку пред­метно-функціональну константу q², то при тому самому універсумі їй може бути співставлена операція додавання.

Дефініція інтерпретації предметно-функціональної константи: «Кожній n-місткій предметно-функціональ­ній константі Φⁿ інтерпретаційна функція І співстав- ляє довільну n-містку функцію, аргументами і значенням якої є елементи множини U, тобто І (Φⁿ) є n-містка операція на універсумі U».

Опис процедури інтерпретації нелогічних констант по­казує, що універсум розгляду U і функції І, яка співстав- ляє кожній константі значення у відповідності із вище сформульованими правилами.

Пару, яка задає припустиму в S⁴ інтерпретацію нелогічних констант, називають моделлю.

Дефініція моделі.

«Моделлю називається будь-яка пара, така, що U — непорожня множина, а І — функція, що задоволь­няє таким умовам:

Розглянемо тепер приписування значень предметним змінним. Значення для предметних змінних знаходять теж в U. Кожній предметній змінній в якості значення припи­сується довільний елемент множини U. Слід мати на увазі, що конкретною моделлю можна пов’язати множину приписування значень предметним змінним. Це означає можливість перебирання значень змінних при фіксованій інтерпретації констант.

1. Оскільки а — предметна константа, то згідно з Df₁ функція І співставить їй такий об’єкт, як 3, що й буде її значенням:

2. Оскільки у — предметна змінна, то згідно, Df₂ φ при­пише їй число 2:

3. Визначимо значення складного терму f(a). Предметно- функціональній константі f за нашою умовою відповідає дія піднесення до другого степеня, а значення терму а є число 3.

Тоді відповідно до Df₃ треба застосувати операцію 1(f) до аргументу а, тобто піднести до квадрата число 3. Отримане число 9 є значенням терму f(a):

3.