Логіка висловлювань як числення. Натуральне числення висловлювань
Логіка вивчає структурні аспекти міркувань людей. Її головна мета - обґрунтування правильності способів отримання нового знання із уже наявного знання. Саме тому логіка звертає увагу на обґрунтовані або правильні міркування.
Основним завданням логіки є дослідження правильних міркувань. Вона прагне виявити особливості таких міркувань, визначити й класифікувати їх типи. Неправильні міркування логіка розглядає лише з точки зору тих помилок, які в них допущено.
Міркування - це зіставлення думок, пов’язування їх задля відповідних висновків.
У природній мові міркування представлено зв’язком або послідовністю розповідних речень. Якщо міркування виражено за допомогою усної мови, воно називається дискурсом (від лат. discursus - бесіда, розмова, послідовне розгоргання в розмові певного міркування). Якщо міркування побудовано за допомогою писемної мови, вони називається текстом (від лат. textum - тканина, зв’язок, побудова).
До складу міркування входять засновки, висновок та правила виведення висновку із засновків.
Засновками називають передумови, наявні, відомі раніше знання, які містяться у вихідних висловлюваннях або судженнях.
Висновком - нове, вивідне або висновкове знання, яке міститься у новому висловлюванні або судженні, отриманому логічним шляхом в результаті зіставлення та перебудови засновків.
Правила виведення обґрунтовують наявність логічного зв’язку між засновками та можливість на його підставі робити висновок або існування відношення логічного випливання між засновками та висновком. Іншими словами, за структурою міркування є послідовністю висловлювань або суджень, яка складається із засновків та висновку, об’єднаних відношенням логічного випливання.
Розглянемо структуру міркування на прикладі:
Ліси бувають хвойними, або листяними, або змішаними.
Цей ліс хвойний.
Цей ліс не листяний і не змішаний.
Перше та друге висловлювання або судження, які знаходяться над горизонтальною рискою, «у чисельнику», є засновками, трете висловлювання або судження, яке знаходиться під нею, «у знаменнику», - висновком.
А горизонтальна риска, що відокремлює засновки та висновок, символізує виведення.За наявністю відношення логічного випливання розрізняють правильні та неправильні міркування.
Правильним називається міркування, в якому між засновками та висновком наявне відношення логічного випливання чи ослабленого логічного випливання або підтвердження, а неправильним - в якому воно відсутнє взагалі.
Для того, щоб висновок міркування був істинним, необхідно дотримуватись двох умов:
- засновки повинні бути істинними;
- міркування має бути логічно правильним.
Логіка встановлює умови, за яких міркування буде правильним та гарантує логічну правильність міркувань.
За типом логічного випливання виокремлюють дедуктивні та індуктивні міркування.
Дедуктивним (від лат. deductio - виведення) називається міркування, в якому між засновками та висновком існує відношення логічного випливання, виражене у формі логічного закону, що дає змогу із істинних засновків отримати істинний висновок. Як правило, у засновках дедуктивних міркувань міститься загальне знання, а у висновку - окреме, часткове знання.
Індуктивними (від лат. Inductio - наведення) називається міркування, в якому між засновками та висновком не існує відношення логічного випливання, а наявне відношення підтвердження, вираженим не у формі логічного закону, а у вигляді фактичних або психологічних підстав, які не мають формального характеру, що не гарантує істинності висновку при істинних засновках. Як правило, у засновках індуктивних міркувань міститься окреме, часткове знання, а у висновку - загальне знання.
За ступенем повноти формалізації міркування можуть бути виводами або численнями.
Вивід - це напівформалізоване міркування, в якому зі змісту наявного знання у вигляді речень за визначеними формальними правилами отримують нове знання. Вивід - сучасна назва. Традиційно вивід називається умовиводом.
Числення - це формалізоване міркування, в якому із наявного знання у вигляді формул за допомогою формального виведення та змістовної інтерпретації отримують нове знання.
Виводи будуються шляхом емпіричного абстрагування та опису деяких форм правильних міркувань.
Числення будуються шляхом теоретичної систематизації правильних міркувань на підставі чітких визначень логічного закону, відношення логічного випливання та інших суттєвих відношень між описовими висловлюваннями, які складають логіку відповідної мови.Логіка висловлювань є теорією дедуктивних міркувань. Вона може бути представлена як числення або виводи. Для логіки висловлювань будуються числення різного типу. Основними з них є аксіоматичні та натуральні.
Аксіоматичним численням логіки висловлювань називається такий вид числення, в якому висновок будується з аксіом у відповідності з правилами виведення та правилами підстановки.
Натуральним численням логіки висловлювань називається такий вид числення, в якому висновок будується із засновків- гіпотез (припущень, здогадів) у відповідності з певними правилами виведення.
У натуральному численні висловлювань процес виведення висновку більш наближений, ніж в аксіоматичному, до звичайних міркувань людей. Через це натуральні числення висловлювань зручно використовувати у гуманітарних, соціальних та соціогуманітарних науках. Тому основна увага буде зосереджена на правилах натурального числення.
Правила виведення натурального числення - це способи логічного переходу від засновків до висновку, які задають «ведення та усунення логічних сполучників.
Правила виведення поділяють на основні та похідні. У свою чергу, основні та похідні правила поділяють на прямі та непрямі.
Основними називаються правила, що змістовно очевидні як засоби моделювання дедуктивних міркувань та дозволяють відрізнити правильно побудовані міркування від неправильних.
Похідними називають правила, що виводяться з основних та сприяють скороченню процесу виведення висновку.
Прямими правилами (або правилами першого роду) називають правила, що вказують на безпосереднг виведення висновку із засновків.
Непрямими правилами (або правилами другого роду) називають правила, що дають можливість стверджувати правомірність деяких висновків на підставі визнання правомірності інших висновків.
Розглянемо прямі правила виведення. Вони поділяються на правила введення та правила усунення. До них належать:
Правило введення кон’юнкції (BK): якщо описові висловлювання А та В істинні, тоді й їх кон ’юнкція істинна.
Схема правила:
Приклад:
Правило усунення кон’юнкції (УК): якщо А та В істинне, тоді кожний член кон’юнкції-істинний.
Схеми правила:
Приклади:
Правило введення диз’юнкції (ВД): якщо А - істинне, тоді А або В — істинне; якщо В - істинне, тоді А або В - істинне.
Схеми правила:
Приклади:
Правило усунення диз’юнкції (УД): якщо у засновках є диз’юнкція та заперечення її членів, окрім одного, у висновку буде даний член диз’юнкції.
Схеми правила:
Приклади:
ДляУД,:
Для УД,:
Правило усунення імплікації (УІ): якщо у засновках є імплікативне висловлювання та окремо його антецедент, у висновку буде консеквент. Правило УІ іце називають відділенням висновку (лат. modus ponens).
Схеми правила:
Приклад:
Правило введення еквівалентності (BE): якщо у засновках є імплікація A → В та зворотна їй В → А, висновком буде еквівалентність Aістинне.
Схеми правила:
4.1.2.