Логіка предикатів як числення. Натуральне числення предикатів

Як і логіка висловлювань, логіка предикатів може бути представлена у вигляді числення. Так само, як і в логіці висловлювань, у логіці предикатів розрізняють аксіоматичне та натуральне числення.

Аксіоматичне числення предикатів - це така логічна теорія, яка є розширенням аксіоматичного числення висловлювань.

Подібність й навіть зв’язок між обома численнями полягає, по-перше, у тому, що значення, яке приймає пропозиційна функція (предикат) із універсуму міркування, при відповідних аргументах може бути або істинним, або хибним. По-друге, усі логічні сполучники логіки висловлювань - заперечення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація, еквіваленція - використовуються і в численні предикатів. По-третє, побудова числення предикатів, як і числення логіки висловлювань, здійснюється за допомогою аксіоматичного методу, із застосуванням первісних термінів, аксіом та правил виведення.

На відміну від аксіоматичного числення предикатів, в якому одночасно із деяким необхідним мінімумом правил виведення у числі вивідних постулатів містяться аксіоми, натуральне числення предикатів містить тільки правила виведення.

Розглянемо натуральне числення предикатів.

Усю множину правил виведення у натуральному численні предикатів поділяють на дві підмножини:

- прямі правила;

- непрямі правила.

Розкриємо зміст прямих правил виведення.

Прямими правилами виведення є правила усунення та введення кванторів.

Правило усунення квантора спільності (У V): ∀xA(x)→A(a)

Буквально це правило означає, що якщо усі предмети якоїсь предметної області або універсуму міркування мають певну ознаку, тоді будь-який довільний або визначений предмет даної предметної області має цю ознаку.

191

Правило введення квантора спільності (BV):

Це правило встановлює, що властивість, притаманна будь- якому предмету деякої предметної області, належить також усім предметам цієї предметної області, але лише за умови, що знання про цю властивість отримується на підставі аналізу тих предметів, попередньо ототожнених й узагальнених між собою за певними параметрами. Інакше кажучи, якщо в процесі виведення отримуємо твердження про те, що довільний предмет із якоїсь пред­метної області має певну ознаку, тоді можна стверджувати, що усі предмети цієї предметної області мають цю ознаку.

З цього правила випливає, що якщо будь-який довільно взятий або визначений предмет має якусь ознаку, тоді це означає, що існує, в крайньому разі, один предмет, який має цю ознаку.

Приклади:

Правило усунення квантора існування (УЗ):

З цього правила випливає, що з істинності часткового висловлювання типу Зх А(х) можна зробити висновок про істинність одиничного висловлювання типу А(а), яке є результатом підстановки постійної а замість змінної х.

Однак справа ускладнюється, якщо у засновках або припущеннях є декілька висловлювань з кванторами існування. Наприклад, якщо поряд із описовим висловлюванням «Існує х, що х студент економічного факультету» має місце таке описове висловлювання: «Існує х, що х студент юридичного факультету» - тоді неможливо замість змінної х правильно підставити постійну. Зазначена обставина вимагає певного обмеження до правила УЗ. Це обмеження формулю­ється наступним чином: якщо у процесі виведення доводиться застосовувати правило УЗ п разів, тоді необхідно п разів вводити нову постійну (ім’я), яка відрізняється від усіх раніше введених постійних (імен).

4.3.2.