Логічні відношення між складними висловлюваннями
Логічні відношення — це закономірності, що мають місце між істиннісними значеннями формул висловлювань у спільній для них таблиці істинності.
Логічні відношення бувають симетричними, що не залежать від порядку висловлювань (еквівалентність, протиріччя, протилежність, часткова сумісність) і несиметричними, що мають місце тільки при певному порядку висловлювань (підпорядкування, слідування).
Еквівалентність Два висловлювання називаються еквівалентними, якщо в будь-якому рядку таблиці істинності, побудованої спільно для формул обох висловлювань, їх значення співпадають.
Фактично, висловлювання еквівалентні, якщо результуючі стовпчики спільної таблиці істинності для відповідних формул абсолютно однакові.
Приклад
Розглянемо такі висловлювання.
1. Ця тварина не плазун і не ссавець.
2. Невірно, що ця тварина плазун або ссавець.
Позначимо:
p - плазун,
q - ссавець.
Складемо таблицю.
Таблиця істинності буде спільною для двох формул, якщо однаковим пропозиційним змінним відповідають однакові стовпчики. Порівнявши результуючі стовпчики обох формул, ми бачимо, що вони абсолютно однакові, тобто в кожному рядку спільної для двох формул таблиці істинності їх істиннісні значення співпадають. Отже, ці висловлення еквівалентні.
Суперечність (протиріччя) Два висловлювання протирічать одне одному, якщо в кожному рядку спільної для них таблиці істинності їх значення різні.
Тобто, при побудованій спільній таблиці істинності для двох висловлювань, їх результуючі стовпчики не містять жодного співпадіння.
Приклад
Розглянемо такі висловлювання.
1. Якщо студент відвідує всі лекції, то він розуміє те, про що говорить лектор.
2. Студент відвідує, але не розуміє.
Позначимо:
p - студент відвідує,
q - студент розуміє.
Складемо таблицю.
Результуючі стовпчики не співпадають у жодному рядку, отже, висловлювання протирічать одне одному.
Протилежшсть Два висловлювання протилежні, якщо вони можуть бути разом хибними, але не можуть бути разом істинними.
Результуючі стовпчики таких висловлювань співпадают тільки за хибою, але у жодному разі не співпадают за істиною.
Приклад
Розглянемо такі висловлювання.
1. Іванов скоїв злочин з обтяжуючими обставинами.
2. Іванов скоїв злочин без обтяжуючих обставин.
Позначимо: p - Іванов скоїв злочин, q - обтяжуючі обставини.
Ці висловлювання протилежні, так як у 3 і 4 рядках спільної для них таблиці істинності вони одночасно хи6ні, але у жодному рядку не істинні одночасно.
Часткова сумісність Два висловлювання частково сумісні, якщо вони можуть бути разом істинні, але не можуть бути разом хибними.
Результуючі стовпчики таких висловлювань співпадают тільки за істиною, але у жодному разі не співпадают за хибою.
Приклад
Розглянемо такі висловлювання.
1. Студент не знав або забув.
2. Студент знав або не забув.
Позначимо:
p - знав, q - забув.
Ці висловлювання частково сумісні, так як у 1 і 4 рядках спільної для них таблиці істинності вони одночасно істинні, але у жодному рядку не хибні одночасно.
Загальна система логічних відношень
| Відношення сумісності (висловлювання можуть бути разом істинними) | Відношення несумісності (не можуть бути разом істинними) |
| Еквівалентність (повна сумісність) | Протиріччя (повна несумісність) |
| Часткова сумісність | Протилежність (часткова несумісність) |
Не завжди між двома висловлюваннями існує відношення.
Може статись так, що не можна знайти закономірності між двома результуючими стовпчиками і підібрати відповідне означення. Наприклад, висловлювання, що відповідають формулам p&q та q&r. Побудувавши для них спільну таблицю істинності, побачимо, що у відповідних рядках таблиці обидва висловлювання можуть бути одночасно i істинними, і хибними. Результуючі стовпчики не однакові і не повністю різні, жодне висловлювання не підпорядковане іншому. Тобто жодне означення логічних відношень не підходить до цієї ситуації. У такому разі кажуть, що такі висловлювання логічно незалежні.Для того, щоб встановити у якому відношенні знаходяться між собою висловлювання, потрі6но:
• записати логічну форму висловлювання;
• визначити загальну кількість різних пропозиційних змінних в обох формулах;
• побудувати спільну таблицю істинності для висловлювань;
• визначити результуючі стовпчики;
• знайти (й позначити) співпадіння істиннісних значень у результуючих стовпчиках;
• підібрати логічне відношення за означеннями.