Еквівалентні перетворення складних висловлювань

Перетворення, в результаті яких отримуються еквівалентні висловлювання, називаються еквівалентними перетвореннями (то- тожніми, рівносильними). Рівносильні перетворення формул грун­туються на законах логіки, знаючи які, можна заміняти формулу або її підформулу на рівносильну.

Для полегшення розуміння та спрощення запису формул ча­сто використовують скорочені позначення. Одним з таких скоро­чень є зв’язка еквіваленція.

Еквіваленція — логічна зв’язка, що має місце між еквівален­тними висловлюваннями. Еквiваленця істинна, коли її оби­два компонента мають однакове істинніснє значення. Ви­словлювання, що входять до еквіваленції, повинні бути одно­часно істинні або одночасно хибні.

Еквіваленція може бути представлена як кон’юнкція двох ім­плікацій.

Це легко перевірити, побудувавши відповідну талицю істинно­сті. Взагалі, для побудови мови логіки висловлювань достатньо двох зв’язок: будь-якої бінарної зв’язки та заперечення, але це не­зручно. Хоча дійсно,за допомогою кон’юнкції та заперечння мо­жна побудувати формули, рівносильні диз’юнктивним або імплі- кативним і навпаки.

Імплікація

Закони логіки

Взагалі законів логіки безліч, але деякі з них отримали істо­ричні назви. Тому говорити, що законів логіки три, чотрири або двадцять п’ять, некоректно.

Закон логіки (тавтологія, трюїзм) — це висловлювання, яке при будь-якому наборі істиннісних значень приймає значення «істи­на». Фактично, закон логіки — це ЛІВ — логічно істинне вислов­лювання. Якщо в мову логіки висловлювань ввести константу, яка буде позначати логічну істину T (від англійського truth - істина), то кожен закон логіки буде еквівалентний цій константі T.

Закон тотожності

Закон виключеного третього

Закон несуперечност

Кожна з наведених формул представляє схему закона логі­ки, шляхом подстановки замість А та В інших формул або про- позиційних змінних, також отримують закон логіки. Наприклад: — закон тотожності.

Заперечення складних висловлювань

Просте висловлювання заперечити дуже просто, достатньо по­ставити перед ним частку «не» або «невірно, що» та подібний вираз. Заперечити складне висловлювання не завжди так про­сто. Звичайно, складне висловлювання «на вулиці йде дощ та дує вітер» можна заперечити так само, як і просте. Отримаємо: «не­вірно, що на вулиці йде дощ та дує вітер», але в такому вигляді не зовсім зрозуміло, що саме невірно. Здається, що на вулиці не­має доща, але дме вітер, проте так само можна подумати, що на вулиці немає ні доща, ні вітру. У такому випадку еквівалентні перетворення допомагають прояснити висловлювання.

Складемо логічну форму вихідного висловлювання:

p - на вулиці йде дощ; q - на вулиці дме вітер.

p&q

Тепер побудуємо заперечення до цієї формули і застосуємо до неї закон де Моргана:

Отримали, що на вулиці не дощить, або немає вітру. Формула, отримана в результат перетворення заперечення вихідної форму­ли, може бути інтерпретована не зовсім так, як здалося спочатку.

Наприклад: Другокурсники кажуть, що для того, щоб добре написати контрольну з математичного аналізу достатньо знати таблицю похідних та інтегралів, але викладач сказав, що це не так. Що він мав на увазі?

Встановимо логічну форму висловлювання:

p — я добре написав контрольну

q — я знаю таблицю похідних r — я знаю таблицю інтегралів

Серед наведених законів немає такого, який би передбачав за­перечення імплікативної формули. Але є закони для заперечення кон’юнкції та диз’юнкції. Крім того, є закон, який дозволяє ви­разити імплікацію через диз’юнкцію. Скористаємося ним:

Тепер можна використати закон де Моргана, що стосується заперечення диз’юнкції:

Тепер, очевидно, можна застосувати закон зняття подвійного заперечення:

Отримали:

Така формула може бути інтерпретована наступним чином: «Я знаю таблиці похідних та інтегралів, але погано написав кон­трольну», а це вже привід замислитись.

Розглянуті відношення — еквівалентності, суперечності, час­ткової сумісності та протилежності - симетричні. Тобто, якщо А протилежне В, то й В протилежне А. Така симетрія справедлива для будь-якого розглянутого відношення, але логіка розглядає й несиметричні відношення.

Підпорядкування Висловлювання В підпорядковане висловлю­ванню А, якщо завжди, коли істинне А, то істинне й вислов­лювання В.

В таблиці істинності, побудованої для таких висловлювань, у всіх рядках,де висловлювання А буде набувати значення «істи­на», висловлювання В також буде істинним.

Приклад

Розглянемо висловлювання.

1. Якщо треба вивчити вірша або прозу, то прозу я вчити не буду.

2. Не буду вчити прозу, або займуся логікою.

Позначимо:

p - я буду вчити вірш, q - я буду вчити прозу, r - я займусь логікою.

Логічна форма першого висловлювання: Логічна форма другого висловлювання:

Бачимо, що в першій формулі три пропозиційні змінні, а в дру­гій — дві. Виникає питання, скільки рядків буде у спільній для цих формул таблиці? Адже, якщо побудувати для першої форму­ли таблицю з 8 рядків, а для другої — з двох, то ми не зможемо їх порівняти. Згадаємо, коли ми називаємо таблицю істинності спільною для двох формул — коли однакові пропозиційні змінні мають однакові стовпчики. Тому, кількість рядків спільної табли­ці істинності визначатиметься спільною кількістю різних пропо- зиційних змінних у формулах. Побудуємо таблицю для цих фор­мул.

Бачимо, що завжди, коли перше висловлювання істинне, то істинне й друге висловлювання, зумовлене істинністю першого, підпорядковане йому. Подібна ситуація свідчить про наявність відношення піпорядкування.