Логічна істинність висловлювань

Прості висловлювання мають фактичну істинність, яку ми мо­жемо перевірити, зіставивши висловлювання з дійсним станом речей. А як перевірити істинність складного висловлювання? Во­на залежить від істиннісних значень простих висловлювань, що входять до його складу, та зв’язок, що їх об’єднують.

Для встановлення істинності складного висловлювання вико­ристовують різні методи, з яких ми розглянемо табличний. Суть методу полягає у послідовному переборі всіх можливих значень простих висловлювань та визначенні результуючого істиннісного значення за допомогою табличних означень логічних зв’язок.

Табличні означення логічних зв’язок

Кон’юнкція —логічна зв’язка, що виражає одночасність.Тобто висловлювання, що входять до кон’юнкції повинні бути одно­часно істинні

У наведеній таблиці можна виділити характеристичний ря­док, який відрізняється від інших і однозначно визначає кон’юнкцію як функцію двох пропозиційних змінних. Дій­сно, єдиний випадок, коли кон’юнкція істинна, має місце у першому рядку, коли істинні обидва кон’юнкти. Характеристичний рядок:

Диз’юнкція виражає можливість вибору.Тобто істинним має бу­ти хоча б одне висловлювання.

Імплікація виражає причинний зв’язок.Якщо висловлювання — основа імплікації хибне, то її наслідок може бути будь-яким.

А от коли основа імплікації істинне висловлюванняя, то на­слідок може бути лише істинним. Щодо імплікації кажуть: «З істини — тільки істина, з хиби — що завгодно»

Характеристичний рядок:

Заперечення — унарна зв’язка, що змінює істиннісне значення висловлювання на суперечне йому.

Знаючи табличні означення логічних зв’язок, можна визначи­ти істинність будь-якого складного висловлювання. Як ви помі­тили, два висловлювання p і q, кожне з яких може бути істинним або хибним, дають 4 рядки таблиці. Тобто, для двох висловлю­вань існує 4 варіанти можливих наборів істиннісних значень. Для трьох — вже 8 варіантів, для чотирьох — 16. Для розрахунку кіль­кості варіантів використовують формулу 2ⁿ, 2 — кількість істин­нісних значень (в нас їх два: істина і хиба), n — кількість пропо- зиційних змінних, тобто різних простих висловлювань у формулі.

Щоб полегшити виписування великої кількості варіантів, ко­ристуються таким способом: всю таблицю подумки ділять навпіл, під першою пропозиційною змінною підписують у стовпчик поло­вину значень «і», а другу половину «х». Для стовчика наступної змінної ще раз ділять навпіл і так далі. У стовпчику останньої пропозиційної змінної істиннісні значення будуть чергуватися че­рез одне. Після того, як перебрали всі можливі істиннісні значен­ня, можна виконувати дії згідно табличним означенням логічних зв’язок.

Інструкція №1. Загальний метод побудови таблиці істинності

1 Записати логічну форму висловлювання.

2 Підрахувати кількість рядків в таблиці за формулою 2ⁿ, де n — кількість різних простих висловлень у даному складно­му висловленні.

3 Виписати набори значень для кожного простого висловлен­ня таким чином, щоб «і» та «X» зустрічались однакову кіль­кість разів.

4 Розкрити дужки за допомогою табличних означень логічних зв’язок (результуючий стовпчик взяти в рамку).

Мета нашої побудови — результуючий стовпчик таблиці істин­ності. За ним встановлюється логічна модальність висловлюван­ня.

Логічна модальність висловлювання — це специфічна харак­теристика висловлювання з точки зору його істинності чи хибності.

Існує три види логічних модальностей:

ЛІВ — логічно істинні висловлювання — результуючий стов­пчик яких містить лише значення «істина». Логічно істинні висловлювання називають законами логіки, завжди істин­ними висловлюваннями, тавтологіями.

ЛХВ — логічно хибні висловлювання — результуючий стов­пчик яких містить лише значення «хиба». Логічно хибні ви­словлювання називають суперечностями.

ЛВВ — логічно випадкові висловлювання — результуючий стов­пчик яких містить хоча б одне значення «істина» і хоча б одне значення «хиба». Формули таких висловлювань нази­вають виконуваними.