§ 3. Логічні сполучники та їх табличне визначення

Логічні сполучники, шо входять до структури склад­ного висловлювання, визначають в логіці за допомогою матриць (або таблиць певного виду). Таблиці дають від­повідь на питання: коли (за яких умов) складне вислов­лювання є істинним і коли — хибним.

Істинність простих висловлювань, з яких вибудовують складне висловлювання, визначають без застосування логічних методів. Нагадаємо, якщо у висловлюванні стверджують факт, що має місце в дійсності, то таке ви­словлювання вважають істинним; якщо ж у ви­словлюванні йдеться про деякий стан справ, який на­справді відсутній в дійсності, то таке висловлювання буде хибним.

Однак, зазначений тип виявляється недостатнім для встановлення істинності/хибності складного висловлю­вання. Опріч звернення до фактів дійсності необхідно враховувати також характер логічних сполучників, за до­помогою яких будують складне висловлювання. Роз­глянемо докладно кожний логічний сполучник окремо.

І. Кон’юнкція

Розглянемо висловлювання:

(1) “Він розумна і чемна людина”.

Це складне висловлювання, що складається з двох простих висловлювань:

(Ia) “Він розумна людина”.

(16) “Він чемна людина”.

Висловлювання (1) буде істинним лише тоді, коли обидва прості висловлювання-складники (Ia) і (16) будуть істинними, тобто за умови, що згадувана людина дійсно є розумною і чемною. Якщо ж ця людина є розумною, але не є чемною (тобто, якщо висловлювання (Ia) є істинним, а висловлювання (16) — хибним), тоді кон’юнктивний вираз буде хибним. Зрозуміло, що ви­словлювання (1) буде хибним ще у двох випадках: коли деяка людина нерозумна, але чемна; і коли деяка людина е і нерозумною і нечемною.

Якщо підсумувати здійснений аналіз, то виявиться, що кон’юнкція декількох простих висловлювань буде істинною тоді і тільки тоді, коли істинними будуть всі кон’юнктивні члени.

Зафіксуємо ці факти у відповідній таблиці.

(2) буде істинним за наявності хоча б одного із зазначе­них чинників. Це означає, що диз’юнктивне складне ви­словлювання у випадку нестрого*! диз’юнкції буде істинним тоді, коли істинним є хоча б один із членів диз’юнктивного висловлювання і, відповідно, нестрога диз’юнкція буде хибною тоді, коли кожний диз’юнк­тивний член (кожне просте висловлювання) буде хибним.

Зафіксуємо цей факт в таблиці істинності для не­строго! диз’юнкції:

“Л V В" читають: “Л або В, але не обидва разом”.

III. Імплікація

Знак логічного сполучниказамішує граматич­ний сполучник “якщо..., то...”. У природній мові цей граматичний сполучник може використовуватись в різних смислах:

— для фіксації причинних зв’язків (наприклад, “Якщо воду нагріти до 100 °С, то вона перетвориться на пару”);

— для фіксації відношення одного факту-умови до іншого факту-результату (наприклад, “Якщо складу всі іспити, то помандрую в Карпати”);

— для фіксації зв’язку між деякою метою і засобом її досягнення (наприклад, “Якщо не хочеш помилитись, то будь уважним”);

— для фіксації деякої послідовності подій у часі (наприклад, “Якщо сьогодні понеділок, то завтра буде вівторок”);

— для фіксації деякої умови, домовленості (наприк­лад, “Якшо ти вирішиш більшість практичних завдань, то складеш залік”) і т.

Кожний зазначений випадок ілюструє різні смислові відтінки граматичного сполучника “якщо..., то...”. Логіка абстрагується від цього розмаїття відтінків і надає логічному сполучнику “імгигікація” лише один певний смисл, що фіксують в таблиці:

читають: “якщо А, то В\ де А (тобто вислов­лювання, яке слідує за словом “якщо”) називають за­сновком, а В (висловлювання, що слідує за словом “то”) називають висновком.

Проаналізуємо кожний рядок цієї таблиці. Розгляне­мо, наприклад, таке висловлювання:

(4) “Якщо дане слово стоїть на початку речення, то його пишуть з великої літери”.

Засновком і висновком цього імплікативного вислов­лювання будуть, відповідно два прості висловлювання:

(4а) “Дане слово стоїть на початку речення” (засновок);

(46) “Дане слово пишуть з великої літери” (висновок).

Перший і другий рядки таблиці не викликають сумніву: дійсно, якшо висловлювання-засновок (4а) і ви- словдювання-висновок (46) є істинними, то і імплікативне висловлювання (4) також буде істинним; якшо ж висловлювання-засновок (4а) є істинним (тобто дане слово дійсно стоїть на початку речення), а вислов- лювання-висновок (46) є хибним (тобто дане слово не пишуть з великої літери), то імплікативне висловлювання очевидно в цілому буде хибним.

Розглянемо інші випадки.

Третій рядок таблиці: слово може не стояти на почат­ку речення, але все ж таки його можуть писати з великої літери (звичайно, вже на іншій підставі). Отже, за умови хибності засновку (4а) та істинності висновку (46) імплікативне висловлювання (4) буде істинним.

Четвертий рядок таблиці: слово може не стояти на початку речення і його можуть не писати з великої літери і все ж таки висловлювання про те, шо якщо слово стоїть на початку речення, то його пишуть з великої літери за­лишається істинним (тобто його істинність не зміниться у зазначеному випадку).

Отже, імплікативне висловлювання є хибним тоді і тільки тоді, коли висловлювання-засновок є істинним, а висловлювання-висновок є хибним.

Аналіз імплікативних висловлювань має важливе зна­чення для аналізу понять “необхідна підстава (умова)” і “достатня підстава (умова)”. Зазначені поняття нерідко виражають саме у вигляді імплікацій.

Підстава (умова) А є достатньою для існування (виникнення) деякого факту, ситуації, явища В у тих ви­падках, коли за наявності А деякий факт (ситуація, яви­ще) В може трапитись і в певних (відомих для нас) ви­падках трапляється.

Наприклад, “Якщо число ділиться (без остачі) на 10 (Я), то воно ділиться (без остачі) на 5 (5)”. Дійсно, для того, шоб деяке число поділялось (без остачі) на 5 (В) цілком достатньо, шоб воно поділялось (без остачі) на 10 (А). Але умова (Л) не є необхідною для (Д): число може ділитись (без остачі) на 5 і не ділитись (без остачі) на 10. Отже, висловлювання “Л є достатньою підставою (умовою) для В” фіксують імплікацією “Л ZD В”.

Висловлювання “Л є необхідною підставою (умовою) для В” фіксують імплікацією “5 ZD А”. Підстава (умова) (Л) є необхідною для існування (виникнення) деякого факту, ситуації, явища (В), у випадках коли без даної умови (Л) деяка подія (ситуація, явище) (В) не може ви­никнути (трапитись). Якщо наявна подія (В), то обов’язкова наявна і умова (Л). Наприклад, у висловлю­ванні “Якщо число п є парним (Л), то воно ділиться (без остачі) на 4 (В)” умова (Л) є необхідною: якщо деяке чис­ло п не є парним, то воно не буде поділятись (без остачі) на 4. Але ця умова (Л) не буде достатньою: існують парні числа, що не діляться (без остачі) на 4. Отже, логічну структуру нашого висловлювання-прикладу фіксуємо (на відміну від випадків із достатніми умовами) у вигляді “б ZD Л” (тобто “В, тільки якщо Л”).

Деякі підстави (умови) для існування (виникнення) деякої події (ситуації, явища, факту) є і необхідними, і достатніми. Для фіксації таких випадків застосовують логічний сполучник еквіваленції.

V. Еквіваленція

Відповідником цього логічного сполучника в при­родній мові є граматичний сполучник “якщо і тільки як­що...”. Еквіваленцію інколи називають ще й подвійною імплікацією, що є цілком закономірним з огляду на те, що еквіваленція фіксує необхідні і достатні умови деякої події (факту, явища).

Таблиця істинності для еквіваленції:

^ читають: “А, якщо і тільки якщо В” (або “А тоді і тільки тоді, коли В”), Якщо еквіваленцію тлумачити як подвійну імплікацію, тоді її можливо зафіксувати як (А ZD В) a (BZ) А), тобто “якщо А, то В і навпаки”.

Згідно з цією таблицею еквіваленції еквівалентне ви­словлювання буде істинним, коли усі його складники є одночасно істинними або одночасно хибними.

Приклад еквівалентного висловлювання:

(5) “Якщо геометрична фігура — квадрат (А), то вона є рівностороннім прямокутником (В)”.

VI. Заперечення

Розглянемо два висловлювання:

(ба) “Лондон розташовується на Темзі”;

(бб) “Невірно, що Лондон розташовується на Темзі”.

Висловлювання (6а) є очевидно істинним. Висловлю­вання (66) буде хибним, позаяк в ньому заперечують факт, який стверджують в попередньому істинному ви­словлюванні.

Розглянемо інші висловлювання:

(7а) “Лондон розташовується на Дніпрі”;

(76) “Невірно, що Лондон розташовується на Дніпрі”.

Висловлювання (7а) є очевидно хибним. У висловлю­ванні (76) за допомогою сполучника “невірно, що...” ми заперечуємо те, що стверджували в хибному висловлю­ванні (7а). Саме тому ми можемо оцінити висловлювання (76) як істинне.

Відтворимо зафіксовані факти в таблиці:

читають: “невірно, що Я”. Заперечення пере­творює істинне висловлювання на хибне і навпаки.

Розглянемо ситуацію, вихід з якої можна знайти за допомогою знання таблиць істинності відповідних логічних сполучників.

Турист йшов до озера. Біля перехрестя двох доріг він зупинився. Одна дорога вела праворуч, інша — ліворуч; одна дорога вела до озера, а інша — до села. Біля пере­хрестя доріг сиділи два хлопці, один з яких завжди гово­рив правду, а інший — завжди говорив неправду. Обидва відповідали на будь-яке запитання або “так”, або “ні”. Bcς це було відомо туристу, але він не знав, який саме хлопець говорить неправду. Турист також не знав, яка дорога веде до озера. Тоді він поставив одне запитання обом хлопцям відразу і від кожного з них отримав відповідь. На підставі цих відповідей турист здогадався, яка дорога веде до озера. Яким було запитання туриста?

Вирішення. Турист вказав на одну з доріг і запитав: “Чи є правдою, що ця дорога веде до озера і що 2x2 = 5?” Обидва хлопці відповіли “Ні”. Турист відразу дійшов висновку, що саме ця дорога веде до озера. Він міркував таким чином. Наявні дві можливості:

Можлива ситуація 1. Дорога, на яку вказав турист, дійсно веде до озера. Хлопець, який завжди говорить правду (П), відповість на запитання, чи веде ця дорога до озера, “так”, а на запитання, чи вірно, що “2x2 = 5”, — “ні”, а тому на моє питання в цілому він відповість “ні”. Хлопець, який завжди говорить неправду (НП) відповість на запитання, чи веде ця дорога до озера, “ні”, а на запи­тання, чи вірно, що “2x2 = 5”, — “так”, отже, на моє питання в цілому він відповість “ні”.

Можлива ситуація 2. Дорога, на яку я вказав, не веде до озера. Тоді (П) відповість на запитання, чи веде ця дорога до озера, “ні”, а на запитання, чи вірно, що “2 х ?2 = 5”, також — “ні”; отже на моє запитання в цілому він відповість ”ні”. (НП) відповість на запитання, чи веде ця дорога до озера — “так”, а на запитання, чи вірно, що “2x2 = 5” також відповість “так”; отже, на питання ту­риста в цілому він відповість “так”.

Таким чином, за першої можливої ситуації, коли до­рога дійсно веде до озера, обидві відповіді будуть запе­речними (“ні”), а за другої можливої ситуації — одна відповідь буде стверджувальною (“так”), інша — запереч­ною (“ні”). Отже, дорога, на яку вказав турист, дійсно буде вести до озера лише в тому випадку, коли він отри­має на своє запитання дві заперечні відповіді “ні”.

Виразимо міркування туриста за допомогою логіки висловлювань.

Позначимо через А висловлювання “Ця дорога веде до озера”, а через В — “2x2 =5”.

Позаяк для будь-яких двох висловлювань X та Y вірно, що X л Y буде істинним лише за умови одночасо- вої істинності X i У, то це буде вірним і для висловлювань А і В. Тому можна побудувати таку таблицю істинності, яка б фіксувала відповіді хлоппя, який завжди говорить правду (П) і хлопця, який завжди говорить неправду (НП):

Перший і другий рядок таблиці фіксують першу мож­ливу ситуацію, а третій і четвертий — другу можливу си­туацію.