Логічне слідування

Логіку часто називають наукою про логічне слідування, але свого часу логіку також означили як науку про загальні закони буття істини, покликанням якої є дослідження способів отриман­ня достовірного знання.

Встановити наявність логічного слідування між висловлюван­нями можна проаналізувавши їх логічні форми. Нехай дані деякі висловлювання, логічні форми яких відповідають формулам А і В. Кажуть, що деяке висловлювання слідує з іншого, якщо їх ло­гічні формули зв’язані відношенням логічного слідування, тобто А = B: А зумовлює В, А тягне В, В слідує з А, В випливає з А тощо.

I= — знак логічного слідування.

Формула В логічно слідує з формули А якщо для будь-яких наборів істиннісних значень для пропозиційних змінних, що входять в дані формули, при істинності А істинне й В і не­можлива ситуація, коли А істинне, а В хибне.

Міркування - це засіб встановлення (обґрунтування) істинно­сті висловлювань в рамках мови шляхом виведення його з інших висловлювань.

Структура міркування :

• Посилки - вихідні висловлювання.

• Висновок - висловлювання, істинність якого обґрунто­вується в даному мiркуваннi.

• Процес виведення.

Посилки можуть бути як простими, так і складними вислов- люванями.

Міркування правильне, якщо його висновок слідує з посилок, тобто якщо між посилками і висновком існує відношення логічно­го слідування. Міркування, в основі якого лежить логічне слі­дування між посилками та висновком, називається дедуктив­ним міркуванням. Дедуктивне міркування дає змогу отримати істинний висновок за умови істинності посилок. Фактично, де­дукція розкриває у висновку, робить явною ту інформацію, яка неявно міститься в посилках. Тому кажуть, що дедукція не дає нового знання, а лише дає змогу явно експлікувати знання, що міститься у відомих нам істинних посилках.

Логічне слідування Висновок слідує з посилок, якщо завжди, коли посилки істинні, висновок теж істинний. Тобто, немо­жлива така ситуація, коли всі посилки істинні, а висновок - хибний.

Інструкція № 2. Табличний спосіб перевірки правильності мiркування

1 Записати логічну форму посилок та висновку

2 Побудувати для посилок і висновку спільну таблицю істин­ності.

3 Вибрати лише ті рядки, в яких всі посилки одночасно є істинними.

4 Перевірити, яке значення в цих рядках має висновок:

a) якщо в кожному з цих рядків висновок істинний, то він слідує з посилок, i мiркування правильне.

b) якщо існує хоча б один рядок, в якому висновок хи­бний, то він не слідує з посилок, і міркування не буде правильним.

Приклад

Якщо людина принципова, то вона передбачувана. Цей чоловік безпринципний. Значить, він непередбачува- ний.

Позначимо:

p — людина принципова, q — людина передбачувана.

Бачимо, що в 4 рядку обудві посилки одночасно істинні і ви­сновок також приймає значення «і», проте, в 3 рядку, незважаючи на істинність обох посилок, висновок хибний.

Міркування і висловлювання відносяться до різних семанти­чних категорій. Міркування - це не одне висловлювання, а деякий ланцюжок висловлювань. Висловлювання - це деяке твердження, констатація. Міркування може бути правильним чи неправиль­ним, а висловлювання - істинним або хибним. Правильність мір­кування в формальній логіці встановлюється за допомогою фор­мальних методів. Але існують і змістовні вимоги до правильних міркувань, недотримання яких може привести до того, що мір­кування виявиться формально вірним, але змістовно неправиль­ним. Це стусується також істинності посилок в міркуванні. Мето­ди формальної логіки застосовуються до висловлювань, істиність яких вважається відомою, наприклад, встановленою фактично. Та може статися так, що у міркуванні використані хибні посилки, тоді висновок такого можливо й формально правильного мірку­вання може виявитися неадекватним дійсності. Істинність поси­лок можна встановити фактично або логічно (визначивши логі­чну модальність відповідних висловлювань). Крім того, посилки можуть бути істинними за домовленістю або аксіоматично. Важливою умовою правильності міркування є релевантність по­силок та висновку.

Релевантність - наявність смислового зв’язку між вислов­люваннями, має місце, коли висловлювання стосуються однієї й тієї самої сфери міркування. В рамках формальної логіки реле­вантність може бути визначена як наявність спільних пропози- ційних змінних у висловлюваннях.

Посилки називаються релевантними висновку, якщо фор­мули посилок і висновку містять хоча б одну спільну про- позиційну змінну.

Дійсно, дивним було б міркування такого виду: Василь розумний. На вулиці йде дощ. Отже, сьогодні середа. Як видно, всі ці ви­словлювання нерелевантні, тому таке міркування не може бути правильним.

Для того, щоб отримати істинний висновок в процесі міркування, необхідно дотримуватись таких умов:

1 Посилки мають бути істинними;

2 Висновок має бути релевантним посилкам;

3 Висновок має логічно слідувати з посилок.

Логічне слідування і закони логіки

З формули А логічно слідує формула В, якщо їх імплікація є логічно істинним висловлюванням.

Це можна записати таким чином: = A D B

Таким чином, кожному правильному міркуванню відповідає за­кон логіки. Закон логіки, як завжди істинне висловлювання, слі­дує з будь-яких посилок, у тому числі з порожньої множини по­силок, що й показує наведений запис.

Як перевірити чи відповідає міркуванню закон логіки

1 Записати міркування в символічній формі.

2 Об’єднати всі посилки за допомогою операції &.

3 Поставити між посилками і висновком знак D.

4 Побудувати таблицю істинності для висловлення, яке отри­малось.

а якщо висловлювання логічно істинне, то міркування відповідає законам логіки.

b якщо висловлювання не є логічно істинним, то мірку­вання не відповідає законам логіки.

Приклад

Якщо студент добре вчиться, то він отримує стипен­дію. Якщо студент отримує стипендію, то він добре харчується. Отже, якщо студент добре навчається, то він добре харчується.

Позначимо:

p - студент добре вчиться;

q - він отримує стипендію;

r - він добре харчується.

Отже, це логічно істинне висловлювання, тому мірку­вання, що йому відповідає, - правильне. Хоча в да­ному разi мiркування досить підозрілє. Якщо студент добре навчається, то не завжди він добре харчується. До такого висновку призвело порушення першої вимо­ги правильності міркування, - використанні посилки не істинні. Хоча логічна форма міркування дійсно вір-

на.

Основні правила виводу

Приклад

Якщо наступає осінь, то жовтіють листочки. Осінь на­ступає. Значить, листя жовтіє.

Приклад

Коли надворі мороз, то вода замерзає. Вода не замер­зла. Значить, надворі не мороз.

— modus tollendo ponens.

Приклад

Ця людина помиляється або свідомо обманює інших людей. Але сама ця людина не помиляється. Значить, вона свідомо обманює інших людей.

Метод зведення до абсурду

Зведення до абсурду — це метод доведення, що передбачає ви­ведення абсурдних (суперечливих) наслідків з заперечення тези, що доводиться. У даному випадку потрібно довести, що мірку­вання правильне, отже заперченням цієї тези буде висловлюва­ння «міркування неправильне». Якщо з деякого висловлювання можуть бути виведені суперечливі наслідки, значить це вислов­лювання хибне, а отже, істинне його заперечення, тобто у дано­му випадку теза «міркування правильне». Таким чином, якщо припущення, що міркування неправильне, приведе до абсурдних висновків, логійчно дійти висновку, що таке припущення хибне і насправді міркування правильне. Розглянемо наведений метод детальніше.

Якщо кожне правильне міркування відповідає закону логіки, це означає, що результуючий стовпчик відповідного висловлю­вання містить лише значення «і». Припустимо, що міркування невірне. Тоді існує хоча б один рядок, у якому результуючий стов­пчик містить значення «х». Виходячи з того, що головна зв’язка це імплікація, робимо висновок, що антецедент (перша частина імплікації) має бути істинним, а консеквент (друга частина ім­плікації) — хибним. Далі користуючись табличними означення­ми логічних зв’язок, знаходимо значення пропозиційних змінних. Якщо знайдені значення при підстановці у логічну форму не да­ють протиріччя, значить припущення було вірним, отже дійсно існує рядок у якому результуючий стовпчик містить хибу, і зна­чить міркування неправильне. Якщо ж неможливо підібрати такі істиннісні значення пропозиційних змінних, які б при підстановці у формулу не давали протиріччя, значить припущення було не­вірним і міркуванню відповідає закон логіки. Значить міркування правильне.

Приклад

Розглянемо міркування з попереднього прикладу про студента.

Якщо студент добре вчиться, то він отримує стипен­дію. Якщо студент отримує стипендію, то він добре харчується. Отже, якщо студент добре навчається, то він добре харчується.

Як вже було встановлено, логічна форма цього мір­кування відповідає закону логіки, а значить формаль­но, міркування правильне. Застосуємо до відповідного висловлювання метод зведення до абсурду. Так як ми вже знаємо, що така логічна форма відповідає пра­вильному міркуванню, то ми повинні прийти до супе­речності, припустивши, що міркування невірне. Припустимо, що міркування невірне. Отже, результу­ючий стовпчик відповідного висловлювання містить хоча б одну хибу. Згідно табличному означенню істин­ності імплікації, це можливо лише коли перша частина імплікації істинна, а друга хибна.

Визначимо істиннісні значення складових частин. Най­простіше у даному випадку почати з висновку.

Згідно припущенню, висновок має бути хибним. Так як формально висновок - імплікативний, то це можливо лише коли істинний його консеквент (перша частина) і хибний консеквент (друга частина імплікації).

Маємо значення:

Залишилось визначити значення q. Для цього вико­ристаємо першу частину формули. Це кон’юнктивна

формула, а за табличним означенням кон’юнкції, вона істинна коли о6идві її частини істинні.

Отже, частини кон’юнкціїобидві мають

бути істинні. Так як ми знаємо значення p і r, знайдемо з першої формули значення q, а потім для перевірки підставимо у другу формулу.

Так як імплікаціямає бути істинною, при цьому за попередніми висновками, ми знаємо, що p - і, то згі­дно табличного означення імплікації q також має бути істинним.

Маємо всі три значення пропозиційних змінних:

Підставимо їх у формулу, що залишилась невикориста­ною (q Dr). Згідно припущення, вона також має бути істинною. Але значення q — і, r - х при підстановці в імплікативну формулудають хибу!

Таким чином, ми отримали протиріччя. Це означає, що не можна підібрати такі значення пропозиційних змінних, при яких дана формула буде містити хибу в результуючому стовпчику. Отже, формулі відповідає логічно істинне висловлювання, а значить відповідне міркування правильне.

Насправді, незважаючи на досить громіздке пояснення, маючи достатню практику, цей спосіб набагато ефективніший, ніж та­бличний. Дійсно, при його застосуванні, ми працюємо лише з одним рядком таблиці істинності, а не з усіма, адже міркування може містити і 4 і 5 пропозиційних змінних, а побудова таблиці відповідного розміру досить дошкульна справа.