Критика К.Льюїсом класичної теорії логічного слідування

Після виходу в світ праці Б.Рассела та В.Уайтхеда «Принципи математики» громадянство отримала класи­чна теорія логічного слідування, в основу якої було покла­дено відношення матеріальної імплікації.

Матеріальна імплікація є абстракцією, узагальнен­ням відношення між умовою і результатом, причиною і наслідком, підставою і висновком, попереднім і наступ­ним, а також узагальненням, абстракцією смислового, змістовного зв’язку між антецедентом і консеквентом.

Така абстракція дозволяє зв’язувати не лише причину і наслідок, істинні висловлювання, які зв’язані за змістом, а й протилежні їм.

Це зафіксовано у дефініції імплікації:

«Імплікація хибна тоді і тільки тоді, коли антеце­дент істинний, а консеквент хибний, в решті випадків вона істинна».

Використовуючи в теорії логічного слідування матеріа­льну імплікацію, ми можемо досліджувати найрізноманіт­ніші предметні області, зв’язки та відношення, які існують між ними: чи йдеться про числа, чи про історичні події, чи про астрономічні об’єкти тощо.

Така універсальність теорії логічного слідування є її значним досягненням, але вона має низку небажаних нас­лідків, за якими в логіці закріпилася назва «парадокси матеріальної імплікації». Образність цієї назви полягає в тому, що у відношеннях матеріальної імплікації немає то­го, що в логіці прийнято називати парадоксами, тобто вну­трішньої суперечності. Тут є інше: невідповідність логіч­ного слідування звичайному умовному зв’язку («якщо..., то...»).

У численні матеріальної імплікації істинними бу­дуть:

1. «Якщо через провідник пропустити електричний струм, то він нагріється».

2. «Якщо Земля — планета, то Париж — столиця Франції».

3. «Якщо 2 ? 2 = 5, то число планет 9».

4. «Якщо 2 ? 2 = 5, то число планет 5».

Лише в першому випадку антецедент і консеквент іс­тинні і змістовно зв’язані. В решті прикладів антецедент з консеквентом або одночасно не істинні і не пов’язані за змістом, а якщо і істинні, то не мають смислового зв’язку, хоча і в цих випадках імплікація істинна.

Звідси випливають дві залежності:

1. «Істина слідує з будь-чого»

2. «Із хиби слідує будь-що»

Таблиця істинності для імплікації дуже виразно це ілюструє:

З таблиці видно, що дефініція імплікації забороняє 2-й рядок, решту все дозволяє. Це відбувається за принципом «все, що не заборонено, те дозволяється». Тому, виходя­чи із даної дефініції, ніяких «парадоксів» не виникає.

Дискомфорт виникає тоді, коли ми виходимо за межі цієї дефініції і мимоволі забуваємо, що вона є абстракці­єю умовного зв’язку і що таблиця істинності для імплі­кації не є ізоморфним зліпком зображення умовного зв’язку.

Тоді 1-й та 3-й рядки таблиці є ілюстрацією першого формулювання «парадоксу», а 3 і 4 — другого. У зв’язку з цим пошуки моделі логічного слідування, яке було б аде­кватне змістовному, смисловому тлумаченню, полягають не в тому, щоб знайти ще якусь імплікацію поряд з матеріа­льною, чимось схожу на матеріальну, але щоб вона не ма­ла названих недоліків. Строга, сильна імплікації не є та­кими.

К. Льюїс спеціально підкреслює, що всі функції від р та q, які властиві системі класичного слідування: p, p ∧ q, p V q, p ⊃ q, p ? q, є функціями істинності, в той час в сис­темі строгої імплікації відношення p P q, p = q не є функ­ціями істинності.

У зв’язку з цим К.Льюїс перед тим як описати свою сис­тему строгої імплікації, вводить низку попередніх понять.

Роглянемо по порядку.

Термін «р породжує q» означає «із р вивідним є q» («із р випливає q»). Тут не просто «голе» співставлення істинністних значень (екстенсіоналів) антецедента та консеквента (якщо це має місце у відношенні матеріаль­ної імплікації), а тут натяк на внутрішній, змістовний зв’язок р і q.

Наступний термін «р сумісне з q» означає «р не поро­джує хибності q» («із р не випливає не-q», або «із р не випливає хибність q»), а термін «q незалежне від р» означає «р не породжує q», або «із р не випливає q».

Іншими словами, коли «р сумісне з q», то це означає, що «р» може породити, з нього може слідувати лише іс­тинне «q», а коли «q» незалежне, незв’язане з «р», то «р» ніяким чином не може породити «q».

Термін «вивідне судження» еквівалентне терміну «іс­тинне судження», а вираз «стверджувати «р» означає «стверджувати істинність «р», в той час «стверджува­ти заперечення «р» означає «стверджувати хибність «р».

Розглянемо складові системи строгої імплікації:

1. p, q, r,... p, q, r,... — висловлювання;

2. ~р — заперечення (читається «р — хибне», або «не — р»);

3. (рдУ — логічний добуток (читається: «р — істин­не і q — істинне», «р і q»);

4. ?р — (читається: «р можливо», «можливо, щоб р було істинним», «р самосумісне»);

5. р = q — логічна еквівалентність.

Пункти 1—5 складають вихідні елементи алфавіту.

Крім вихідних елементів система містить низку дефі­ніцій:

— читається: «в крайньому випадку одне із двох, р або q, істинне, разом хибними вони не можуть бути».

Ця дефініція є визначенням строгої імплікації. Чита­ється: «Хибно, що можливо, щоб «р» було істинним і одноразово «q» було хибним»; «Не можне бути, щоб «р» було істинним, а «q» хибним»; «Забороняється, щоб «р» було істинним, а «q» — хибним».

Іншими словами наведена дефініція звучить так:

«Якщо забороняється, щоб «р» було істинним, а «q» — хибним, то це означає, дозволяється лише, щоб при іс­тинності «р» обов»язково істиним було «q».

З поверхової точки зору це може означати, що строга імплікація зводиться до першого рядка таблиці істинності для імплікації:

Тобто дозволяється перший рядок таблиці і заборо­няється решта рядків. Якщо це витримати, то небажані ситуації, які отримали назву «парадокси матеріальної імплікації» виключені самі собою.

Проти такого поспішного погляду застережує К.Льюїс, і тоді, коли підкреслюється, що сторога імплікація і строга еквіваленція не є функціями істинності, і тоді, коли вводять в дефініцію матеріальної імплікації модальні поняття.

Отже, у відношенні строгої імплікації має місце не екстенсіональна комбінація істинністних значень, а — інтенсіональний зв’язок попереднього і наступного.

Наступна дефініція характеризує строгу еквіваленцію:

— читається: «р строго еквівалентне q тоді і тільки тоді, коли р строго імплікує q, а q строго імплікує р».

К.Льюїс визначає аксіоми своєї системи, в структурі яких фігурують лише логічний добуток, заперечення і строга імплікація.

У дедуктику системи К.Льюїса входить три правила:

— підстановки,

— ад’юнкції,

— інференції.

П р а в и л о п і д с т а н о в к и. Це правило має два формулювання:

1. «Будь-які два еквівалентні один одному вирази вза- ємозамінювані»;

2. «Кожен вираз, який значимий у термінах системи, може бути підставлений замість р, або q, або r і т.д. в будь-якому реченні чи теоремі».

П р а в и л о а д ^, ю н к ц і ї: «Будь-які два вирази, що стверджуються окремо, можуть стверджуватися разом».

П р а в и л о і н ф е р е н ц і ї: «Якщо стверджується р і стверджується (р P q), то стверджуваним є і q».

У.Льюїс проводить порівняння матеріальної і строгої імплікації. У зв’язку з цим він до наведених вище трьох дефініцій додає ще дві:

— читається: «невірно, що р — істинне, а q — хибне».

— читається: «р та q або обидва істинні, або обидва хи­бні».

Дефініції 4, 5 є відповідно визначенням матеріальної імплікації і матеріальної еквіваленції.

Порівнюючи матеріальну імплікацію зі строгою, Льюїс приходить до висновку, що строга імплікація за обсягом поняття вужче, ніж матеріальна, тому, за законом оберне­ного відношення, має місце залежність:

«Якщо приймається строга імплікація, то приймаєть­ся і матеріальна, але не навпаки» —

За допомогою правила строгої імплікації і Df 2 із наве­дених аксіом доводять аксіоми класичної системи логічно­го висновку і, що саме головне, доводиться теорема:

Застосовуємо правило адьюнкції: «Якщо стверджу­ється р і стверджується, то q приймається згі­

дно строгій імплікації». Виходить, що вся система мате­ріальної імплікації утримується в системі строгої імплі­кації при наявності Df 4 в останній.

І ще один важливий висновок, який випливає з факту порівняння

«Якщо вбудь-якій теорії матеріальної імплікації ви­дубудь-які складні формули, замінити

знак стверджувальної матеріальної імплікації знаком строгої імплікації, то отримана формула буде доказо­вою в системі строгої імплікації.»

Оскільки, як було встановлено вище, не будь-яка теорема матеріальної імплікації є теоремою в системі строгої імплі­кації, то Льюїс розглядає теореми матеріальної імплікації, які не мають аналогів у системі строгої імплікації.

Із Df 2 випливає дві формули:

Згідно третього висновку, що випливає із порівняння , аналог першої формули приймається в системі строгої імплікації:

— читається: «істинне висловлювання не породжує хиб­ного ні строго, ні матеріально».

Аналог другої формули, що випливає із Df 4, не при­ймається:

Це обумовлено тим, що немає гарантії в змістовному зв’язку «р» і «q».

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

471

К.Льюїс не важає ці формули за парадокси, оскільки вони не суперечать змістовному тлумаченню логічного слідуван­ня, як це відбувається з подібними виразами в системі ма­теріальної імплікації.

В цілому концепція К.Льюїса є значимим внеском у розвиток сучасної модальної логіки.

2.