Концепція Г. Фреге в контексті логістичної програми обґрунтування математики
Аналіз концепції Г. Фреге під час обґрунтування логістичної програми математики вимагає висвітлення низки проблем, що постали перед нею в другій половині XIX століття. Поява нових математичних теорій, некількісної алгебри, незалежних один від одного, але в рівній мірі обґрунтованих неевклідових геометрій похитнуло впевненість математиків у очевидності та надійності геометричної інтуїції, на якій ґрунтується евклідова геометрія.
Зазначене вище, вимагає нового обґрунтування специфіки математичних міркувань. У результаті розвитку обчислення нескінченно малих величин математики наштовхнулися на несподівані приклади всюди неперервних функцій без похідних. З’явилася потреба відділення поняття дійсного числа від неявного поняття «величини», яке засноване на геометричній інтуїції.Математична символіка стала втрачати зв’язок з просторовими і кількісними відносинами, набуваючи характеру, більш властивий логіці. Математики другої половини XIX століття починають розглядати онтологічний статус теорій на основі несуперечності наслідків, отриманих з вихідних постулатів. У цьому контексті, логіка як основа аналізу несуперечності міркування придбала першорядне значення. Виникнення в другій половині XIX століття логіцизма, як особливої програми обґрунтування математики, пов’язане, по-перше, з виявленням і аналізом загальних ідей і принципів математики, по-друге, з удосконаленням методів дедуктивних процедур як найважливішого інструменту математичних висновків.
Основоположник сучасної математизованої логіки Г. Фреге у праці «Обчислення понять» роз’яснив свою логістичну систему, яку порівняв з численнями інших представників свого напряму Дж. Буля, Д. Пеано, Е. Шредера та інших. Розкриємо читачеві обумовленість і основні положення логістичного напряму в математиці. Виявимо значимість і продемонструємо філософські основи системи Г. Фреге. Представимо його дослідження, які мають самостійну спрямованість у системі логіцизма.
Очевидності, з якими маємо справу в пізнавальній діяльності, у тому числі в математиці, яка є одним з інструментів пізнавальної діяльності, діляться на два класи - асертотичні і аподиктичні. До асертотичних відносяться очевидності досвіду, які мають відносний характер і можуть бути виправлені новим досвідом. Особливістю аподиктичних очевидностей є те, що вони не піддаються ніякому коригуванню і мають позаемпіричний і позаісторичний характер. Одним з видів аподиктичних очевидностей у математиці є геометрична необхідність, яка в XVIII столітті, у зв’язку з бурхливим зростанням математичного аналізу, теорії функцій та інших розділів математики, об’єкти яких володіють високим ступенем абстрактності, поставлена під сумнів. Так, наприклад, Ж. Лагранж у праці «Аналітична механіка», де закладені основи сучасної математичної фізики, закликав позбутися креслень у математичних міркуваннях. Вони, як механічні аналоги, знижують строгість математичних міркувань. Критика геометричної очевидності продовжувалася і в XIX столітті, у зв’язку з арифметизацією аналізу. Б. Больцано вважав, що всі твердження аналізу, якими б яскравими вони не були, повинні отримати аналітичне уявлення, що спирається на визначення функцій і їх властивостей. Він обґрунтував, що твердження аналізу володіють граничною універсальністю, не можуть доводитися з міркувань приватної дисципліни, якою є геометрія[78]. Більш адекватний погляд на геометричну очевидність представлений Г. Фреге, який використав, за його твердженням, у своїх семіотичних побудовах конструкції І. Ламберта[79] [80], який передбачив закон ідемпотичності, використовував геометричні лінії, символічно позначав судження, що входять у силогізм. «Мій понятійний запис, - пише Г. Фреге, - припускає більш широкий задум, ніж Булева логіка, оскільки будучи з’єднаним зі знаками арифметики і геометрії, він претендує на подання відповідного 80 судження».Основну ідею Г. Фреге відносно геометричної очевидності можна сформулювати в наступних тезах:
1.
геометрична очевидність, так само, як і арифметична, не містить у собі ніякого почуттєвого компонента і, унаслідок цього, є лише інтелектуальною власністю математичної надійності;2. геометрична очевидність є більш широкою, ніж арифметична, оскільки вона - джерело ідей математичної нескінченності. Унаслідок цього її слід розглядати в якості бази змістової уніфікації в цілому.
Для Г. Фреге проблема обгрунтування міркувань і висновків математики полягала у виявленні їх змістовних підстав, так і в забезпеченні їх суворості. Саме така єдність, на думку німецького математика, необхідно для очевидності та надійності математичних положень. «З самого початку я мав на увазі вираження певного змісту. Кінцевою метою моїх прагнень була якась lingua characterica, призначена насамперед для математики, а не обмежена чистою логікою обчислення - calculus. Але зміст має бути передано більш точно, ніж це можливо словесною мовою. Бо останній занадто багато залишає здогаду, вгадуванню, яким би легким воно не було»[81].
Мета німецького математика - зведення арифметики до логіки, що, за його думкою, забезпечить несуперечливості математичних побудов. Усі інші інтерпретації в математиці, у тому числі і геометрична, розглядалися Г. Фреге як заслуговують уваги лише в тій мірі, у якій вони значущі для вирішення його основної задачі. Створюючи математизовану логіку, Г. Фреге спирався, у першу чергу, на логіко-математичну спадщину Г. Лейбніца, на його ідею створення штучної мови науки (caracteristica universalis), заснованої на обчисленні умовисновків (calcus ratiocinator), мусять скласти «універсальну математику». «Навряд чи хто-небудь може зрівнятися з Лейбніцем з великої кількості нових ідей, щедро розсипаних у його творах... Саме в здійсненності обчислень деякого роду бачив Лейбніц головну перевагу тієї форми писемності, у якій не слова складаються зі звуків, а поняття 82 на основі своїх частин».
На відміну від Дж. Буля, А. Моргана, розробляли основи формалізованої силогістики і логічної теорії відносин, які застосували до логіки методи математики, Г.
Фреге поставив протилежну мету - побудову арифметики і математичного аналізу на базі логіки. «Передусім, необхідно, щоб не вступити на абсолютно хибний шлях - постійно мати на увазі ту мету, яку переслідував Буль у своїй символічній логіці, і ту мету, якої я керувався, створюючи своє обчислення понять»[82] [83]. Розвиваючи ідеї нової галузі математичного знання, Г. Фреге не лише дотримувався лейбніцевської настанови, але разом з тим відштовхувався від ідей І. Канта про природу математики та її суджень як синтетичних і апріорних. Його дослідження, спрямовані на логічне пояснення і обґрунтування несуперечності, лежать в основі понять математики. Мова, звичайно застосована математиками при побудові суджень і висновків, володіє недоліками, які не можуть бути переборні математичною символікою, приховуючи повний зміст умовиводів. Ці недоліки, думки Г. Фреге, неможливо усунути засобами традиційної логіки, її мову не пристосований для вираження фундаментальних математичних понять. Доповнюючи логістичну програму, Г. Фреге створив особливу знаково-символічну систему, яка планується як засіб аналізу математичних міркувань. Обґрунтовуючи систему математичних суджень і висновків, Г. Фреге розглядав логічні закони як фундаментальні принципи мислення, які ми можемо усвідомити, але не можемо коригувати. Історичний розвиток знання не може впливати на структуру аподиктичних очевидностей. Логічна семантика, за думкою німецького математика, ґрунтується на уточненні сенсу зв’язку між знаком і значенням, яке він у собі несе. Логічна семантика сприяє обгрунтуванню математичних висновків у тих випадках, у яких вона пов’язана зі сферою аподиктичних очевидностей.В історії логіки спостерігається постійне коливання у визначенні її обсягу. І. Кант переконаний в тому, що всякий дедуктивний метод - це силогістичний метод. «Утім, з часів Аристотеля, - пише німецький мислитель, - логіка не багато збагатилася за змістом, так це і неможливо в силу її природи. Однак вона може багато чого придбати щодо точності, визначеності і виразності - існує лише декілька наук, які досягли такого стійкого стану та не можуть більше змінюватися.
До таких належить логіка, а також метафізика. Аристотель не упустив жодного моменту розуму, і в цьому контексті ми лише точніші, методичні і акуратніші»[84]. На думку І. Канта, логіка - апріорна наука про закони мислення, при правильному застосуванні розуму. Логіка - це пропедевтика наук, яка не може бути наукою спекулятивного розуму. Порівнюючи філософію і математику, німецький мислитель пише про те, що ці види знання відрізняються один від одного лише об’єктом. Філософія - це раціональне знання з самих лише понять, математика - це раціональне знання за допомогою конструювання понять.При аналізі побудов, вироблених у рамках логістичного напряму в математиці, автор поділяє позицію І. Канта, будучи переконаним у тому, що система логічних побудов, що характеризують мислення, не змінюється зі зміною змісту та обсягу виробленого в культурі знання. Ми можемо з повною впевненістю стверджувати, що, незважаючи на різноманіття і складність сучасних математичних теорій, логічні конструкції в міркуваннях сучасних математиків нічим не відрізняються від логічних побудов таких математиків, як Гіпократ і Евклід.
Як в античності, так і в наш час математичне мислення перебуває в колі аподиктичних очевидних норм, таких, як закон несуперечності, закон виключного третього, закон контрапозиції, закон транзитивності прямування, приведення до абсурду та ін. Історичний розвиток логіки як науки вдосконалюється засобами теоретичного аналізу доказів. Математична логіка, народжена працями Дж. Буля, Д. Пеано, удосконалена в працях Дж. Венна, Г. Гроссмана, Р. Гроссмана, А. Моргана, Е. Шредера, є формалізованим розширенням схем традиційної логіки, яка розглядає лінгвістичні побудови.
Логіка жодною мірою не залежить від математики, працює з об’єктами такого порядку як числові класи, функції та інші об’єкти. У силу перевороту, який стався в логіці у другій половині дев’ятнадцятого - початку двадцятого століть (виникнення математичної логіки), вона стала наукою про формалізовані обчислення, сукупністю теоретичних положень про правила їх конструювання, про їх властивості та взаємини.
Формалізовані обчислення, які повинні були б служити лише інструментом вирішення певних проблем логіки, придбали самовдоволене значення та стали спочатку основним її змістом, а потім перетворилися в особливий об’єкт математичної логіки. При створенні формальних систем математичної логіки першорядне значення набули міркування зручності дослідження властивостей формалізованих обчислень, математичної простоти та витонченості. Але міркування, пов’язані з подальшою інтерпретацією формальних систем, як правило, не бралися до уваги. Простим прикладом у цьому контексті є багатозначні логіки. За аналогією з двозначною логікою ми можемо будувати формальні числення з будь-якою кількістю значень істинності, але ясно, що тут ми маємо справу не з розширенням принципів традиційної логіки, а з їх формальним узагальненням, що не мають статусу логіки як нормативної основи умовиводів.
Розвиток математичної логіки вдосконалював традиційну логіку, але не збагатило систему її аподиктичних очевидних схем, що визначають кроки доказів, оскільки будь-яке обчислення, поряд з аподиктичними очевидними принципами, завжди містить безліч формул, які не є інтуїтивно ясними і не можуть виступати в якості основи змістовного міркування. Г. Фреге для використання силогістики при дослідженні математичних доказів, відомості арифметики до логіки обмежив застосування силогістики у своїй теорії. Це необхідно для контролю ходу міркувань у процесі виведення теорем з аксіом і виключення будь-якого посилання на очевидність та інтуїцію.
Німецьким математиком зроблена спроба представити силогістику в аксиоматизованій формі. У «Логічних численнях» - третій частині своєї праці, Г. Фреге пише: «Безглуздо говорити про ситуації, у яких деяка думка істинна, і про інші ситуації, у яких та ж думка помилкова. Одна і та ж думка не може бути істинною та помилковою, - у випадках, коли виражаються таким чином, завжди виявляється, що мова йде про різні думки, які вважаються однаковими тому, що їх словесний текст збігається....Якщо є дві думки, то можливо лише чотири випадки:
1. перша думка істинна, і така ж друга;
2. перша думка істинна, а друга помилкова;
3. перша думка помилкова, а друга істинна;
4. обидві думки помилкові.
Речення, яке виражає першу думку, є наслідок; а речення, яке
85
виражає другу думку, є умова».
Аксіоматизація силогістики є в онтологічному аспекті обмеженням форми лінгвістичних побудов, яка виникає з вимоги істинності суджень. Судження перестає бути істинним уже внаслідок
85 Фреге Г. Логические исследования / Г Фреге // Логика и логическая семантика. - М. : Аспект Пресс, 2000. - 510 с. - С. 298.
своєї форми. Гносеологічний аспект семантичної системи Г. Фреге полягає в тому, що виходячи з припущення істинності деяких посилань, стає можливим визначити всю систему істинних суджень, що випливають з цього припущення. Необхідні зв’язки між судженнями визначаються на основі припущення про їх істинність. Стверджуючи, що неприпустимі судження виду «А і не А», стверджується тим самим, що судження, які володіють такою формою, ні за яких умов не можуть претендувати на істинність.
Логічний принцип непротиріччя стверджує лише те, що судження, яке складається з твердження і заперечення, несумісне з поняттям про істинність. Найважливішим принципом, що лежить в основі побудов Г. Фреге, є принцип імплікації, що полягає в тому, що з істинного випливає лише справжнє. Методологічний аспект побудов Г. Фреге є загальним приписом до всієї системи правил висновку. Він полягає в тому, що жодне з правил ні окремо, ні в сукупності з іншими не може допустити переходу від істинних тверджень до помилкових. Допущення того, що істинні посилання містять у собі щось помилкове, несумісне з ідеєю їх некоректості.
Німецький математик, уввіши ті або інші знаки (синтаксис), відразу ж задає їх значення (зміст, значення - семантика). Тому для Г. Фреге не існує проблеми доказу несуперечності свого обчислення. Його вчення ставить питання, які науки XX століття віднести до металогіки і метаматематики. Так, для пропозиційної логіки формулюються схеми аксіом, які виражають принцип «істина випливає з усього, що завгодно», і ослаблений modus ponens (закон самодистрибутивності імплікації). Система принципів пропозиційної логіки Г. Фреге дедуктивно повна і несуперечлива. Розглядаючи окремо фрегівські синтаксис і семантику, виявимо, що всі доказові в системі судження - загальнозначущі (при будь-яких значеннях пропозиціональних змінних приймають значення «істина») з точки зору його семантики, а всі змістово істинні судження - доказові.
Фрегівське уявлення про логіку визначає характер побудови всього обчислення як розширеного функціонального числення. Його формальна система містить аксіоми як для пропозиціонального (розглядає значення «істинно» чи «хибно») обчислення, так і для обчислення предикатів. Німецьким математиком здійснено оригінальний підхід до побудови математизованої логіки. Г. Фреге відмовився від традиційного поділу висловлювань на такі елементи, як суб’єкт і предикат. Він розглядав предикат, як функцію, яка містить один або декілька аргументів. Завдяки такій побудові ним досягнуте єдине трактування як атрибутивних висловлювань (у яких виражається належність властивостей предмета), так і висловлювань про стосунки.
Зазначимо, що згідно Г. Фреге, предмет, на відміну від поняття, яке визначено як таке, що має об’єм, не предикативен, він ніколи не може бути висловлений про що-небудь. У мові предметів відповідають власні імена, а поняттями - понятійні слова. У фрегівському підході атрибутивне висловлення можна представити у вигляді одномісної функції, а висловлювання про стосунки як багатомісну функцію. Щодо кванторів передбачалося, що вони можуть пов’язувати не лише предметні, а й предикативні змінні.
Г. Фреге допускав необмежену ієрархію функцій, принципів, які дозволили ввести таку абстракцію, як «пробіги значень функцій», що визначила універсальність предметної області його логічних побудов. Запровадження всеохоплюючої предметної області пов’язано з жорсткою вимогою того, щоб кожне поняття мало чіткі межі. У науці не повинно бути безглуздих, які не виражені поняттями. Жодне висловлення не повинно виявлятися, не маючи значень. Неможливі обчислення, у яких оперували б порожніми знаками, вважаючи, що маємо справу з предметами.
За Г. Фреге, поняття є приватним випадком функцій. Предикативну природу понять складає їх «ненасиченість». Наприклад, у реченні «Ранкова зірка є планета» граматичний об’єкт означає предмет, а граматичний предикат - поняття (властивість). Понятійне вираження «планета» не насичене, воно вимагає поповнення предмета ім’ям, інакше не можна вказати ні на істину, ні на неправду. Після заповнення ім’ям «Ранкова зірка» удосконалюється за допомогою зв’язки «є», що вказує на те, що дана пропозиція перебуває в стверджувальній формі. Пропозиція перетворюється у висловлення думки і претендує на істинність. Усі поняття (як і функції взагалі), мають одну і ту ж область визначення (Definitionsdereich), з якої беруться аргументи, і яка охоплює всі предмети універсуму. Під пробігом значень функції німецьким математиком передбачалося те загальне, що притаманне двом функціям. У разі збігу їхніх аргументів збігаються і їх значення. Г. Фреге не дає прямого визначення пробігу значень функції. Але не важко бачити, що це поняття близьке до такого, що зазвичай називають графіком функції, тобто сукупністю пар, у кожній з яких перший елемент - аргумент, другий - значення функції для аргументу. При цьому Г. Фреге мав на увазі функції одного аргументу. Саме введенням необмеженої ієрархії функцій була закладена антиномія у його системі, виявлена Б. Расселом. Але проблема антиномічності під фрегівською логічною системою повинна бути предметом самостійного дослідження.
В онтологічному аспекті при побудові своєї теорії Г. Фреге стає на платонівську позицію. В основі його розуміння логіки та її законів - переконання в їх об’єктивності, яка покладена на об’єктивність думки. Світ думки реальний, він має таке ж незалежне від людини існування, як і світ емпіричних реалій. Світ думки має нечасовий і неісторичний характер. У «Основоположеннях арифметики» німецький математик пише: «Я відмежовую об’єктивне від реального, просторового, реального (Wirkliches). Земна вісь, центр тяжкості Сонячної системи об’єктивні, але я не можу назвати їх реальними, на відміну від самої Землі. Екватор називають мислимою (gedachie) лінією, але було б неправильно називати цю лінію вигаданою; екватор не створюється мисленням, він не є результатом душевного процесу, виник за допомогою думки; він лише пізнається схоплюваною допомогою думки»[85]. У «Логічних дослідженнях Г. Фреге відмежовує три царства: об’єктивно-реального (фізичного), суб’єктивно-реального
(психологічного) і об’єктивно-нереального. Як об’єктивно-нереальне розглядається непсихологічне, пропозиційне змісту оповідних речень. Число, думки Г. Фреге, «... так само безпідставно мати предметом психології або породженням психологічних процесів, що і, наприклад, Північне море. Таким чином, число є щось об’єктивне»[86] [87]. Під названим поняттям Г. Фреге розумів незалежність не лише від процесів відчуттів, а й уявлень людини. І в «Основоположеннях арифметики», і в «Обчисленнях понять» Г. Фреге, визначаючи свою позицію, підкреслював, що істина, як щось об’єктивне, не потребує для свого буття в пізнанні людини - носія думки. Мислення не створює, а лише схоплює істину. Цей процес німецький математик вважав найтаємничим з усього, з чим має справу людина. Відповідно до цього закони логіки не схожі на норми моралі чи закони права. Вони подібні до законів природи, які розкриваються природничими науками. Пізнані закони природи несуть у собі те загальне, яке визначено в природних процесах. Закони мислення неприродні, оскільки вони відносяться до буття істини. Саме тому закони мислення позачасові. Людина ж має просторово-часові характеристики. Г. Фреге визначає логіку як науку про найбільш загальні закони буття істини», протиставляє істини, з якими має справу логіка, і істини, які належать до психології. Думки, Г. Фреге, складають зміст стверджувально-оповідних пропозицій, які можуть бути або істинними, або хибними. Звідси, для Г. Фреге, предметом аналізу є не пропозиція як знаково-символічна система, а виражена в ньому думка. Побіжно коротко розглянемо таку значну проблему, як відношення Г. Фреге до психологізму в логіці. Зазначимо лише, що у вступі до своєї праці «Основоположення арифметики» німецький математик пише: «У цьому дослідженні я дотримуюсь основних правил: • суворо відокремлювати психологічне від логічного, суб’єктивне від об’єктивного. Щоб слідувати першому правилу, я завжди буду вживати слово «подання» у психологічному сенсі та відрізняти подання від понять і 89 предметів». Сучасна логіка Г. Фреге, що орієнтується на психологію, що розвивається, у тому числі й в працях Дж. Міля, Б. Ердмана, була неприйнятна німецьким математиком, перш за все, у силу свого суб’єктивного характеру. Про це він розмірковує й в «Основоположеннях арифметики», і в «Обчисленнях понять». На його переконання, замість речей розглядаються їх суб’єктивні відображення, подання. Логіка, таким чином, утрачає зв’язок з істиною. На думку Г. Фреге, психологізована логіка розглядає суб’єкт (логічний підмет) і предикат (логічний присудок) судження, як подання. Якщо всі суб’єкти і предикати є лише уявленнями, то неможливо домогтися чогось об’єктивного. Згідно Г. Фреге, необхідним для логіки є правильне розуміння законів мислення. У процесі судження виражається думка і відбувається перехід від думки до визнання її істинності. У статті «Про сенс значень» німецький математик писав: «Я розумію під думкою не суб’єктивну діяльність мислення, але його об’єктивний зміст, що може бути спільним надбанням багатьох»[88] [89]. Таке фундаментальне переконання Г. Фреге. Для розуміння фрегівської неприйнятності психологізму в логіці необхідне уточнення такого поняття як математичний об’єкт. Підхід до таких об’єктів, у силу своєрідності їх буття в чомусь інструментальний. Математика має справу, по-перше, з вихідними об’єктами, прийнятими на основі очевидності, по-друге, з об’єктами похідними, отриманими на основі різних внутрішніх визначень. Відмітною ознакою вихідних об’єктів є безумовна очевидність їх властивостей. Похідні об’єкти, як правило, не володіють цією якістю. Математична теорія, починаючи з інтуїтивно ясних об’єктів, неминуче сходить до конструкцій, які, будучи чітко визначені, тим не менш, позбавлені безпосередньої ясності властивостей. При побудові і розвитку математичної теорії її об’єкти володіють двома особливостями, найважливіша з яких - заданість математичного об’єкта кінцевим числом властивостей. Друга особливість математичних об’єктів - їх сувора підпорядкованість. У процесі розвитку математичної теорії її об’єкти шикуються в жорсткій ієрархії, яка не залежить як від свавілля окремого математика, так і математичного співтовариства в цілому. Мислення математика за необхідності вимагає інструментальності, алгоритмічності, доказовості, логічної стрункості, але не мистецтва герменевтики. В основі фрегівського «подання в психологічному сенсі» лежить кантівське трактування «суджень сприйняття». За І. Кантом «Усі наші судження спершу лише судження сприйняття; вони значущі лише для нас, тобто для нашого суб’єкта, і лише після, ми надаємо нове відношення, а саме ставлення до об’єкта, і хочемо, щоб вони були значимі і для нас, і для всіх інших; адже якщо одне судження узгоджується з предметом, то і всі судження про той же предмет повинні узгоджуватися між собою, так що об’єктивна значущість судження досвіду є ні що інше, як його необхідна загальна значимість.... Це грунтується не на сприйнятті, а завжди на чистому прагматичному понятті, під яке сприйняття підводиться»[90]. Об’єкти - «подання в психологічному сенсі», таким чином, істотно відрізняються від математичних об’єктів. Вони нескінченні в тому контексті, що їх теоретичне визначення лише намічає систему якостей і не виключає відкриття якостей, які не узгоджуються з початковим визначенням, яке не задає об’єкт, а лише вказує на неї, як на деяку сутність, що володіє нескінченним числом незалежних один від одного властивостей. На відміну від цього, усі властивості математичного об’єкта визначено кінцевим числом вимог, зафіксованих в аксіомах або в його вихідних визначеннях. Як висновок зазначимо для читача, що філософсько- математична система Г. Фреге, у контексті обґрунтування логічного напряму в математиці, має інструментальний характер при трактуванні надійності та очевидності висновків математичних міркувань. Завдання, поставлені німецьким математиком, лише на перший погляд, далеко стоять від вагомих проблем філософії. Так, послідовна критика психологізму відродила в кінці XIX - початку XX століття, у противагу суб’єктивізації опису пізнавальних процесів, «реалізм» у логіці й математиці, який вплинув на феноменологію. Подібно до логічного вчення Аристотеля, ядро якого силогістика, зберігши своє значення на століття, з часом обросла уточненнями, обмеженнями, або розширеннями, внесок Г. Фреге логіку - створення класичного числення предикатів, на десятиліття зберігаючи свою значущість, став в наступний період об’єктом розробки в різних напрямках. Логічна теорія Г. Фреге, як і вчення Стагирита, у своїй основі також не реформована. Її можна або прийняти (що і було зроблено в класичній математичній логіці), або відкинути, запропонувавши альтернативні підходи. Виявлені Б. Расселом парадокси не зменшують значущості робіт німецького математика. На подальший розвиток логіки і математики пропедевтичне завдання створення нової логіки справило набагато більший вплив, ніж сама логістична програма.