Багатозначна логіка Е.Поста

Як уже зазначалося, незалежно і майже одночасно з Я.Лукасевичем почав розробляти систему багатозначної логіки Е.Пост.

Він виходить із того, що висловлювання може мати не декілька фіксованих значень, а відповідну множину «п» (1, 2, 3,...

Дамо табличне визначення цих заперечень:

{прекрасне... потворне} тощо. Головне тут — логічні відношення, у які вступають аргументи (висловлювання).

При побудові своєї системи Е.Пост вводить два запе­речення.

Перше заперечення він називає «циклічним» поетап­ним, а друге заперечення збігається із запереченням Я.Лукасевича.

Перше заперечення позначимо

друге —

У формі рівностей Е.Пост ще так визначав заперечення. Перше заперечення (циклічне) визначається двома рів- ностями:

Друге заперечення визначається однією рівністю:

Прокоментуємо дані дефініції заперечення.

Візьмемо циклічне заперечення (1). Припустимо, що наша система багатозначної логіки (у варіанті Поста) має 6 значень для одного висловлювання: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (тобто «6 = п», а «5 = п-1»).

Маємо висловлювання р, яке «пробігає» по множині да­них значень. Знайдемо його значення впродовж усієї шка­ли (від 1 до 6).

Книга друга.

457

Тепер розглянемо другий варіант запереченя (~х) Е.Поста. Знову припустимо, що в нашій системі 6 значень (1, 2, 3, 4, 5, 6) для довільного висловлювання.

Табличний варіант для (~х):

Диз’юнкція і кон’юнкція визначаються відповідними рівностями:

а) А xy = min (x,y)

б) К ху = max (x,y).

Тут необхідно мати на увазі, що в системі Е.Поста більш стверджувальним (враховуючи те, що ми маємо справу не з двозначною логікою, то за терміном «ствер­джувальне» не треба розуміти «більш істинне») є те запе- рчення, яке ближче по порядку до вихідного.

Наприклад, в системі із 6 значень (1, 2, 3, 4, 5, 6) більш стверджувальним буде «2», а не «3».

Розглянемо наведені приклади диз’юнкції та кон’юн­кції:

1. Аху = min (1, 2) = 1

2. Аху = min (2, 3) = 2

3. Аху = min (3, 4) = 3

4. Аху = min (4, 5) = 4

5. Аху = min (5, 6) = 5.

Табличний варіант:

Визначимо таким самим способом кон’юнкцію:

1. Кху = max (1,2) = 2

2. Кху = max (2,3) = 3

3. Кху = max (3,4) = 4

4. Кху = max (4,5) = 5

5. Кху = max (5,6) = 5.

Табличне визначення:

Використовуючи введені Е. Постом обидва варіанти за­перечення, диз’юнкцію та кон’юнкцію, визначимо вирази:

Припустимо, що в нашій системі n = 6:

4.

Відомий математик, логік Д.Бочвар в 1938 р. запро­понував тризначну систему логіки, яка розповсюджується не лише на істинні та хибні висловлювання, а й на висло­влювання, які не мають смислу.

Відповідно до цього він вводить три значення:

«1» — істинно;

«2» — хибно;

«3» — беззмістовно.

Вихідним положенням логіки Д.Бочвара є теза:

«Якщо до складу висловлювання «А» входить беззмі­стовне висловлювання «В», то висловлювання «А» тре­ба визнати беззмістовним».

Ця теза покладена в основу визначення логічних сполу­чників Д.Бочваром. Дамо послідовно табличне визначення заперечення, кон’юнкції, диз’юнкції та імплікації.

Заперечення:

Кон’юнкція:

Диз’юнкція:

Імплікація:

Доказовою формулою у Д.Бочвара є вираз, який при­ймає значення «1» при будь-яких значеннях аргументів.

Доведення здійснюється табличним шляхом. Протестуємо декілька формул:

Свою багатозначну логіку Д. Бочвар задумав як запобі­жний засіб проти парадоксів. Він дає свою типологію ви­словлювань, розрізняючи висловлювання у власному розу­мінні від речення (тобто висловлювання зі смислом).

І знову, як і у попередніх багатозначних системах пере­конуємося, що логіка Д.Бочвара є узагальненням класич­ної логіки.