1. Математика й логіка
Ми вже знаємо з розділу другого, присвяченого Віденському гуртку, що XIX сторіччям датуються початки систематичної формалізації та аксіоматизації як у логіці, так і в математиці.
Ця діяльність, природно, тільки пожвавилася після публікації трактатів Фреґе, покриваючи сукупну галузь обох цих дисциплін. Серед найголовніших результатів цієї роботи з формалізації та аксіоматизації назвемо, з одного боку, дослідження абсолютного фундаменту, спільного для обох цих дисциплін, дослідження, марність якого переконливо довів Ґедель, а, з другого боку, ту вирішальну важливість, якої набуло поняття структури, що поступово посіло панівне становище в математиці, а згодом поширилося й на інші численні галузі, зокрема мову й культуру.Аксіоматизація та формалізація створили такі тісні й глибокі зв’язки між математикою та логікою, що їх стало майже неможливо розмежувати.
Математика
Очевидно, нам немає сенсу робити загальний огляд, бодай дуже скорочений, розвитку математики за розглядуваний період, а буде набагато доцільніше накреслити головні напрямки, що вийшли з праць XIX сторіччя.
Спершу зазначимо, що хоч, на перший погляд, і здається, ніби математика подрібнилася на численні і розмаїті галузі, але насправді цю дисципліну завжди рухало вперед глибинне прагнення до уніфікації.
Протягом усього XIX сторіччя вивчення математичних об’єктів поступово замінювалося дослідженням структур, спільних для різних галузей: саме відношення, а не речі становлять предмет головного інтересу для математика. Вочевидь саме це один з головних результатів формалізації та аксіоматизації, що мали /96/ все більш загальний характер і проводилися з метою досягти якомога більшої строгості й у такий спосіб уникнути математичних труднощів та апорій, що виникали в ту епоху.
Формалізм добре застосовується до систем, позбавлених усякого змісту, і віддає перевагу строгим операціям над точно визначеними символами.
Отже, формалізація полягає в створенні штучної мови, яка користуватиметься комбінаціями знаків, узятих із наперед фіксованого списку, комбінацій, що утворюються за правилами абсолютно точного синтаксису, де немає місця жодним двозначностям.Поруч із формалізацією йде аксіоматизація, яка полягає в створенні дедуктивної системи, що спирається на довільні, але точно визначені основи. Отже, визначимо аксіоматику як дедуктивну систему формалізованих речень, очищену від емпіричного змісту (вона включає в себе лише символи), побудовану на цілком експліцитній сукупності першотермінів (які не піддаються визначенню) та початкових речень, що з’єднують докупи ці терміни (аксіоми), речень, які служать імпліцитними визначеннями першотермінів: відштовхуючись від аксіом, можна вибудувати множину речень, які складатимуть систему, причому вибудувати її за точно визначеними правилами дедукції (правила висновків).
Формалізація й аксіоматизація застосовуються, зокрема, в теорії множин, до якої можна звести всі інші галузі математики. Таким чином ця теорія грає центральну роль і надзвичайно важливо, щоб вона була строго точна і щоб її основи були досконало сформульовані. Проте на початку нашого сторіччя щодо цього виникли певні сумніви у зв’язку з відкриттям, зокрема Бертраном Раселом, парадоксів. Уся спільнота математиків постала перед питанням, вельми істотним для надійності їхніх трудів: «Чи можна бути певним, що в аксіоматизованій теорії множин не з’являться суперечливі речення?» Це питання про міцність теорії, про обґрунтованість системи аксіом, на яких вона стоїть, складає так звану проблему «кризи основ».
В дослідженнях, що проводилися з метою розв’язати цю проблему, Д. Гільберт — німецький математик (1862 — 1943 pp.), відіграв провідну роль. У своїх «Основах геометри» (1899 р.) він аксіоматизував евклідову геометрію, згодом (після 1917 р.) йому спало на думку заснувати нову науку, метаматематику, науку про математичну мову, так би мовити, влаштувати апріорний іспит із перевірки можливостей математичного доведення.
Само /97/ собою зрозуміло, математична мова має складатися з чистих символів. Поступово проступають контури повністю формалізованої системи, програму створення якої Гільберт розробив у 1920 — 1930-і роки. Разом зі своїми студентами він винайшов тоді метод формування певних несуперечливих, проте відносно обмежених у своїх спроможностях доведення систем.Так от, можна довести, що послідовність (несуперечливість) теорії множин зводиться до несуперечливості арифметики. Отже, ця остання почала відігравати істотну роль у дослідженнях на тему несуперечливості аксіоматизованих теорій. Математики, проте, анітрохи не сумнівалися в позитивному результаті своїх трудів, будучи переконані, що доведення несуперечливості вдасться знайти досить швидко, адже жодної суперечності в тій-таки арифметиці не було помічено за всі попередні тисячоліття її існування.
І ось у 1931 році сталася катастрофа! Курт Ґедель поклав радикальний край цим надіям: існують істинні, проте нерозв’язні (не можна довести ані їхню істинність, ані їхню хибність) речення в царині арифметики, якщо ми припустимо, що вона несуперечлива. Ця прогалина в структурі дедуктивних висновків означає, що система аксіом неповна; звідси й назва «теорема неповноти», яку здебільшого носить перша сформульована Ґеделем теорема: нерозв’язність — це не що інше, як друга сторона неповноти. Друга теорема Ґеделя встановлює неможливість довести несуперечність будь-якої формалізованої системи, що містить у собі арифметику, засобами цієї ж таки системи. Доведення несуперечливості стає можливим лише тоді, коли ми вийдемо за межі даної теорії. Але якщо несуперечливість системи не може бути доведена формалізованими засобами, внутрішньо притаманними цій системі, якщо в ній існують нерозв’язні висловлювання, тоді наш розум опиняється перед тривожними межами можливостей формалізації та аксіоматизації.
Таким чином, Курт Ґедель убив усяку надію досягти абсолютної певності в математиці. Тоді як математики тієї доби докладали всіх зусиль, щоб одним могутнім напруженням людського розуму досягти абсолютної істини (побудованої, само собою зрозуміло, на системі довільно підібраних аксіом та першотермінів), знайшовся серед них один, який утопив цю велику надію.
А втім, протягом того самого періоду з’являються й інші тріщини. Теорема Левенгайма-Сколема (сформульована на матеріалі, опублікованому між 1920-м і 1933 pp. у статтях Т. Сколема) /98/ твердить, що, виходячи із системи заданих аксіом, можливо побудувати радикально різні інтерпретації. Аксіоми не обмежують інтерпретацій: отже, неоднозначність виникає в процесі застосування будь-якої аксіоматизованої системи в математиці.
Ось початок знаменитої статті Ґеделя, написаної в 1931 p., a також примітка, додана туди пізніше. В цій своїй статті Ґедель дає доведення двох фундаментальних теорем. Перша, відома під назвою «теорема неповноти», встановлює, що в будь-якій формалізованій системі, достатньо потужній, щоб містити в собі арифметику (що фактично стосується всіх ефективно використовуваних систем), існують істинні речення, які не можуть бути доведені, якщо ми припустимо несуперечливість арифметики. Друга теорема вказує на те, що несуперечливість арифметики не можна довести засобами тієї ж таки арифметики. Це зовсім не означає, що будь-яке доведення взагалі неможливе: насправді можна довести вказану несуперечливість методами метаматематики (тобто, вийшовши за межі розглядуваної системи), що, зрештою, і проробив Ґергард Ґентсен у 1936 р. Суто математичні викладки Ґеделя, як і деякі примітки до тексту, тут пропущено з огляду на їхній суто технічний характер.
ТЕОРЕМИ ҐЕДЕЛЯ
«Розвиток математики до більшої точності привів, як нам відомо, до формалізації великих її секторів, у такий спосіб, що доведення можна там здійснити лише застосуванням кількох суто механічних правил. Найповніші з відомих на сьогоднішній день формалізованих систем — це, з одного боку, система «Principia mathematica» (PM), а з другого, аксіоматична система, запропонована Цермело-Френкелем 1 (і доповнена Й. фон Нойманом). Ці дві системи настільки всеосяжні, що всі використовувані сьогодні в математиці методи доведення можуть бути в них формалізовані, тобто зведені до кількох аксіом та правил виведення.
Отже, можна було б припустити, що цих аксіом та правил виведення цілком досить, щоб розв’язати будь-яку математичну проблему, яку можна формально виразити засобами цих систем.1 Ідеться про найпоширенішу серед математиків систему аксіоматизації теорії множин (прим. Ж. Рюс).
У подальшому викладенні ми покажемо, що насправді воно не так, а навпаки: існують у цих двох системах проблеми відносно прості, які стосуються /99/ теорії цілих чисел, що не можуть бути розв’язані на базі цих аксіом 1. Ця ситуація не залежить, як може видатися на перший погляд, від природи заданих систем, а торкається одного дуже великого класу формалізованих систем, до якого, зокрема, належать усі системи, що походять від двох згаданих вище систем додаванням певного скінченного числа аксіом, за умови, що на базі цих аксіом не зможе бути доведене жодне хибне речення типу, зазначеного в примітці (1). [...]
Примітка, додана 28 серпня 1963 р.
Завдяки певним працям, які вийшли друком після опублікування цієї статті, й передусім працям А. М. Тьюринга, ми маємо тепер у своєму розпорядженні надійне, точне й адекватне визначення поняття формалізованої системи, а тому можемо сформулювати теореми VI2 й XI3 в більш узагальненій версії. Можна строго довести, що в усякій формалізованій несуперечливій системі, яка містить у собі фінітну теорію чисел достатньої повноти, існують нерозв’язні арифметичні речення і, більше того, несуперечливість такої системи не може бути доведена всередині цієї системи».
Е. НАҐЕЛЬ, Дж Р. НЬЮМЕН, Курт ҐЕДЕЛЬ, Ж.-Й. ЖИРАР. «Теорема Ґеделя» (Е. NAGEL, J. R. NEWMAN, Kurt GÔDEL, J.-Y. GIRARD. «Le Theoreme de Gôdel», Seuil, 1989, pp. 107 — 108, 142 — 143).
1 Тобто, точніше: існують нерозв’язні речення, в яких, окрім логічних констант: — (не), v (або), (х) (для всіх), = (дорівнює), не фігурують інші поняття, крім: + (додавання) та «(множення) — обидва розглядаються у відношенні до натуральних чисел — і де квантифікатор (х) теж застосовується тільки до натуральних чисел (див.
примітку (1), згадувану далі в тексті).2 Ідеться про теорему неповноти (прим. Ж. Рюс).
3 Ідеться про теорему, в якій стверджується неможливість довести несуперечливість арифметики засобами самої ж таки арифметики (прим. Ж. Рюс).
Логіка
Фреґе, згадаймо, дав вирішальний поштовх формалізації логіки, яку задовго до нього (ще на початку XIX сторіччя) через математичну логіку розпочали Буль, Пірс та ін. З логіки Фреґе вирішив зробити основи математики, створивши таким чином течію під назвою логіцизм. Перетворити логіку на точну науку — /100/ ще одна головна мета формалізації. На світанку нашого сторіччя Б. Расел зробив вирішальний внесок у формалізацію та аксіоматизацію логіки у своїй знаменитій праці «Principia mathematica». Расел там ясно вказує, що він поставив собі за мету об’єднати труди математиків з аксіоматизації з працями, присвяченими символічній логіці та її формалізації.
До речі, так само, як математики цікавляться метаматематикою, логіки схильні проводити дослідження з металогіки, науки про логічні системи.
За таких умов не дивно, що присмерк математичних очевидностей збігся з критичним переглядом очевидних логічних «істин». Як теорема Ґеделя, так і створення багатозначних логік сприяли тому, що будівля класичної логіки стала вкриватися тріщинами. Насамперед слід відзначити, що результати теореми Ґеделя можуть бути поширені й на сферу логіки: вони повідомляють нам про те, що жодна формалізація не може бути замкненою в собі. Більше того, одна з теорем логіки, а саме теорема Тарського — в ній стверджується, що істинність, яка стосується однієї системи, не може бути формалізована всередині цієї системи, — має доведення, що перебуває в тісному зв’язку з доведенням Ґеделя. Цю теорему було сформульовано в рамках досліджень семантичної 1 концепції істинності, що застосовувалася до речень аксіоматизованої і формалізованої логічної мови. Зокрема, Тарський довів, що не можна строго визначити істинність речення (в тих логічних рамках, де воно створене), якщо ми не маємо в своєму розпорядженні «метамови» (яка містила б у собі первісну логічну мову разом з іншими елементами), метамови «багатшої», аніж мова, якою записане логічне речення; це «багатство», наприклад, полягає в існуванні формально й матеріально визначеного поняття істинності. Таким чином, Тарський прийшов до думки створити «метатеорію» мови, метатеорію, яка включає в себе строгий синтаксис (аксіоматизовану й формалізовану логічну мову), семантику і прагматику. Цей поділ ми знайдемо в різних напрямках аналітичної філософії, на яку Тарський справив чималий вплив (див. Третю частину, розд. З, с. 443 і далі). Отже, логіка, як і математика, почасти втратила віру в свої очевидні істини.
1 У Тарського термін «семантика» означає дисципліну, яка вивчає певні відношення між висловлюваннями мови та позначуваними ними об’єктами. /101/
Ім’я Тарського (1901 — 1983 pp.) тісно пов’язане з розвитком теорії багатозначних логік, які теж підривають очевидні істини логічного «абсолютизму». Тарський, член Варшавської школи (яка прославилася в період між двома війнами), розробляє так само, як і Лукашевич (1878 — 1956 pp.), логічні системи з трьома значеннями (істинне — хибне-можливе), потім з її значеннями (в тому числі й з нескінченним числом значень, як, наприклад, у логіці Райхенбаха), які ставлять під сумнів класичну логіку або, точніше, спонукають бачити в ній лише одну з багатьох можливих систем.
Спробуймо тепер відступити трохи назад: з 1910 р. Лукашевич робить спробу поновити логічну систему за моделлю Лобачевського, який розширив у минулому сторіччі геометрію, відкинувши постулат паралельних ліній. Проект логіка ніби продовжує задум геометра, оскільки тепер (в 1910 р.) ішлося про розширення аристотелівської логіки. До речі, Аристотель уже цікавився цими «нейтральними» реченнями, які начебто належать до сфери, чужої як істинності, так і хибності: так, якщо, наприклад, говорять про те, що завтра відбудеться морська битва, принцип третього виключеного (принцип, за яким речення може бути тільки або істинним, або хибним і більше ніяким) здається тут незастосовним у всій своїй строгості (хоча Аристотель і не довів свого аналізу до логічного завершення). Цілком очевидно, що не можна сказати, буде істинним чи хибним таке речення: «Завтра відбудеться морська битва». Насправді воно ні істинне, ні хибне, а нейтральне. Звичайно, Лукашевич зробив з «De interpretatione» Аристотеля нові висновки.
Так народжуються в 1920 — 1921 pp. «некласичні» логіки, модифікуючи принципи третього виключеного: спочатку тризначні логіки (що припускали існування між істинністю і хибністю третього значення, можливого), потім багатозначні і серед них такі, що мали нескінченне число значень. Імена Тарського, Лукашевича і Поста (1897 — 1954 pp., американець) пов’язуються з цими новими логічними системами, які вивчав і Райхенбах, що дослідив основи логіки з нескінченним числом значень (1932 р.) і спорудив логічну систему з трьома значеннями (істинне-хибне-невизначене).
Таким чином логіка звільнилася від будь-якого абсолютизму, і значення цієї події важко переоцінити. Переставши сприйматись як абсолютна система, логіка релятивізується і плюралізується. Ось як описує цей процес Робер Бланше, один з перших ініціаторів оновлення логіки у Франції: «Як ото [геометрія] перестала бути єдиною, коли з’явилися неевклідові геометрії [...], так і логіка /102/ плюралізується [...]. Ця множинність логік відбирає привілей унікальності в класичної логіки, яка тепер перетворюється лише на одну з багатьох розмаїтих систем» 1.
Два тексти Бланше дадуть нам змогу краще зрозуміти процес оновлення логіки на початку нашого сторіччя. І насамперед наводимо уривок, де Бланше пише про те, що, тоді як Вітґенштайн розглядав логіку в її абсолютному значенні, швидке розповсюдження плюрівалентних логік привело до релятивізму, до системи умовностей. Узяті з праці «Логіка та її історія», ці рядки підводять справедливий підсумок.
КІНЕЦЬ ЛОГІЧНОГО АБСОЛЮТИЗМУ
«Вітґенштайн у своєму «Логіко-філософському трактаті» уже завдав першого удару по логіцизму, зайнявши, в певному розумінні, протилежну позицію. Замість того, щоб у порожнечу аксіоматизованої математики вдихнути логічний зміст, він, навпаки, очистив логіку від усякої субстанції, звів її до чистої форми. Логічні речення, в його розумінні, є «тавтологіями», і хоч, звичайно, вони несуть якесь смислове навантаження, проте позбавлені всякого змісту. Більше не існує ніяких «логічних констант», таких, якими розумів їх Расел. «Всі речення логіки говорять одне, а саме: нічого» 2. Одначе Вітґенштайн і далі розглядав ці тавтології як прийнятні в абсолютному плані: тавтологічний або нетавтологічний характер того чи того висловлювання є невід’ємною його властивістю. Але уже тоді, коли вийшов друком «Трактат...», з’явилися перші тризначні логіки, за якими незабаром посунула ціла армія нових логік, які, порівняно з логістикою, що її тепер визначали як «класичну», відрізнялися від неї не лише іншим розподілом її суджень між аксіомами й теоремами, але й відкиданням того або іншого з її суджень.
1 Robert BLANCHE. «Axiomatique», PUF, pp. 63 — 64.
2 «Tractatus», pr. 5 — 43.
Поява безлічі цих «некласичних» логік мала своїм наслідком те, що в царині логіки вибухнула справжня епістемологічна революція, яку можна було порівняти з тією, котра на століття раніше призвела до виникнення в царині математики перших неевклідових геометрій, зробивши всі її судження релятивістськими. Так само, як властивість геометричного висловлювання улягати доведенню, тобто бути теоремою, залежить від /103/ системи аксіом, яку ми обрали, так само все відбувається і з висловлюванням логіки: тавтологічне в одній системі, воно може бути нетавтологічним у іншій. Й обирати систему можна цілком вільно, за однієї умови, щоб вона не була суперечлива, тобто ніколи не дозволяла водночас доводити якесь судження і те саме судження зі знаком неґації. Карнап так сформулював принцип толерантності синтаксису: «Нашою справою є не ставити заборони, а домовлятися... В логіці не існує моралі. Кожен вільний на свій смак конструювати власну логіку, тобто свою власну форму мови». Звідки випливає глибока переміна в концепції логіки, яку Карнап згодом теж визначить, сказавши, що логічна система «це не теорія, тобто система тверджень про певні об’єкти, а мова, тобто система знаків із правилами їхнього застосування».
Робер БЛАНШЕ. «Логіка та її історія» (Robert BLANCHE. «La logique et son histoire», Armand Colin, 1970, p. 352).
Далі подаємо текст, де Бланше розтлумачує поняття багатозначної логіки, що спричинило розпад єдності логіки. Багатозначна логіка взяла участь у наближенні кінця очевидних істин, у спростуванні логіко-математичних абсолютів.
ЛОГІЧНІ ЗНАЧЕННЯ МІЖ ІСТИННИМ І ХИБНИМ
Схоже на те, що неважко знайти висловлювання, які ми, не вагаючись, назвемо «судженнями», хоча нам було б непросто ввести їх у рамку істинності чи хибності і ми вочевидь захотіли б дати їм якесь проміжне визначення. «Я буду в Парижі першого серпня цього року»: першого серпня це судження, безперечно, буде або істинним, або хибним, але на даний момент воно має скоріше проблематичне значення. Таким чином, між істинним і хибним ми вміщуємо третю валентність. А втім, я міг би спробувати надати цій можливості того чи того відтінку, сказавши, наприклад, що подія вельми ймовірна або вкрай неймовірна, і навіть уточнити цю ймовірність, скориставшися для цього шкалою, що матиме довільно обране — скінченне або й нескінченне — число значень-валентностей. Отже, очевидно, в якому напрямку природно шукати пропозиціональної інтерпретації для багатовалентних числень.
Марно навіть брати за гіпотезу аристотелівську теорію «випадкових майбутніх» або якусь «об’єктивну» концепцію ймовірності. В реальній /104/ дійсності ми часто маємо справу із судженнями, про які ми точно можемо сказати, що вони, безперечно, або істинні, або хибні, але наразі, через своє незнання, ми не можемо занести їх ані до класу «істинних», ані до класу «хибних». Вводячи як третє значення-валентність «можливо», досить розуміти можливість у її епістемологічному значенні, тобто в тому розумінні, що я відповідаю: «Це можливо!», коли мене цілком несподівано запитують, чи мені щось снилося минулої ночі або чи число 4231 ділиться на 7. «Істинне» і «хибне» разом матимуть один і той самий епістемологічний нюанс і означатимуть упевненість, позитивну або неґативну. А якщо ми повставляємо між ними проміжні значення-валентності, то вони означатимуть різні ступені певності».
Робер БЛАНШЕ. «Вступ до сучасної логіка» (Robert BLANCHE. «Introduction à la logique contemporaine», Armand Colin, 1957, pp. 101 sq.).
Стосунки між математикою і логікою
Ми вже відзначали, що процес формалізації та аксіоматизації відбувався паралельно як у математиці, так і в логіці, і що внаслідок цього між цими двома дисциплінами виникає дуже тісний зв’язок, коли логіку часто розглядають як основу математичних побудов.
Ось короткий уривок із «Вступу до математичної філософи» Бертрана Расела. Великий британський логік пише тут про незаперечну єдність математики й логіки. Не забуваймо, що Раселова логіка означає формалізовану дисципліну, невід’ємну від строгої символічної мови, очищеної від двозначностей та неточностей мови повсякденної. Отож не дивно, що в наведеному нижче тексті Расел зближує математику й логіку, які, на його погляд, не повинні становити об’єкти різного вивчення: вони утворюють одне ціле і становлять нерозривну єдність.
ЛОГІКА Й МАТЕМАТИКА ПЕРЕБУВАЮТЬ У ТІСНОМУ ЗВ’ЯЗКУ
«З історичного погляду, математика й логіка були об’єктами різних наук. Математику пов’язували з природничими дисциплінами, логіку — з класичною грецькою традицією. Але обидві значно розви-/105/нулися в нинішній час; логіка стала більш математичною, а математика — більш логічною. Наслідком стало те, що тепер неможливо провести між ними демаркаційну лінію; по суті, колишні дві науки злилися в одну. Вони відрізняються між собою, як дитина відрізняється від людини дорослої; логіка — це юність математики, а математика — зрілість логіки. Такий погляд неприйнятний для логіків, які, провівши багато часу за студіюванням класичних текстів, неспроможні міркувати в термінах символічних структур, і для математиків, котрі опанували свої прийоми, не дошукуючись у них змісту й не намагаючись зазирнути в основи. На щастя, вчені цих двох типів зустрічаються дедалі рідше. Багато сучасних математичних розробок близько сусідить із логікою, і багато сучасної логіки стає символічною і формалізованою, тому кожному досвідченому фахівцеві в цих галузях стає очевидно, що між ними існують тісні зв’язки. Доведення цієї ідентичності є, очевидно, питанням деталей. Виходячи з посилань, логічну природу яких ніхто не ставить під сумнів, й одержуючи шляхом дедукції результати, що, безперечно, належать до царини математики, ми виявляємо, що в жодній точці не можна провести чіткої лінії, яка залишила б усю логіку ліворуч і всю математику праворуч».
Бертран РАСЕЛ. «Вступ до математичної філософії» (Bertrand Russell. «Introduction à la philosophie mathemathique», Payot, 1951 — 1952, pp. 231 sq.).
Але далеко не всі повністю приймають логіцистичний погляд Расела. На підтвердження ми публікуємо далі текст Жана Кавайє (1903 — 1944 pp.), математика і логіка, великої постаті у французькій думці. Ці рядки є уривком з його докторської дисертації «Аксіоматичний метод і формалізм». Кавайє протестує проти зведення математики до логіки і підкреслює інтуїтивний аспект математики. Цілковита абстракція не існує в математиці, де завжди є місце для конкретної інтуїції.
МАТЕМАТИКА — ЦЕ БІЛЬШЕ, НІЖ ЛОГІКА
«Уже Кант показав, що математика, поза всяким сумнівом, має справу з матерією певного виду, незалежно від будь-якої логіки, а отже, ніколи не може спиратися на одну логіку, внаслідок чого і зазнали /106/ невдачі Фреґе та Дедекінд. Радше навпаки, необхідною передумовою для застосування логічних умовисновків є наявність даних у матеріалі, певних конкретних об’єктів позалогічного характеру, які потрапили туди внаслідок діяльності інтуїції у вигляді безпосереднього досвіду, що передує будь-якій думці» 1. Це ідея, безперечно, кантіанська: математика — це більше, ніж логіка, оскільки вона являє собою думку ефективну, а кожна ефективна думка з’являється в процесі застосування абстрактної думки до інтуїтивного матеріалу. Тому логіка не є спільним компонентом різних наукових дисциплін, які переважають її в тому ж таки аспекті. «Виходячи із суто філософських арґументів, я вважаю за необхідне докладати в царині математики, як і деінде, всіх зусиль, спрямованих на те, щоб мислити, розуміти, виражати; покинути її напризволяще означало б заперечити можливість будь-якої інтелектуальної діяльності». [...] Гільберт наполягав на важливості інтелектуальних зчеплень у справжній математичній роботі. «Хто не користується малюнком сегментів та вписаних прямокутників, щоб довести з усією строгістю складну теорему про безперервність функцій або про існування граничних точок? Хто зміг би обійтися без фігури трикутника, кола з його центром, схрещення осей координат?» Психологічні допоміжні засоби для уяви? Але математика не перебуває поза сферою уяви: «Арифметичні знаки — це написані цифри, геометричні фігури являють собою накреслені на папері формули, і для математика так само неможливо обійтися без усього цього, як для того, хто пише, обійтися без дужок». Цей взаємооднозначний зв’язок, що встановлюється між формулами та цифрами і геометричними фігурами, дозволяє розглядати математику алгебраїстів як науку інтуїтивну; те саме можна сказати і про всіх тих, хто обстоює повну абстракцію, якої не існує».
Жан КАВАЙЄ. «Аксіоматичний метод і формалізм» (Jean CAVAILLÈS. «Methode axiomatique et formalisme», Hermann, 1938 — 1981, pp. 91 sq.).
1 Всі уривки, подані в лапках, узято з творів Д. Гільберта (прим. Ж. Рюс).
Висновки: кінець абсолютних істин
Отже, огляд сучасних математики й логіки дає нам підстави вважати, що ми спостерігаємо кінець абсолютних істин, присмерк очевидності. Звичайно, аксіома четвертого виключеного /107/ замість третього виключеного не ставить під реальний сумнів людський розум, що споруджує некласичні числення. І все ж таки, відсутність однієї універсальновизнаної логіки сприяє підсиленню апорій, що виникають у математиці, передусім унаслідок доведення теорем Ґеделя і Левенгайма-Сколема: далекі від того, щоби бути окремими епізодами, сучасні досягнення в логіко-математичній царині ставлять по-справжньому глибокі проблеми, які добре підкреслює Бланше в наступному тексті.
КІНЕЦЬ МАТЕМАТИЧНОГО УНІВЕРСАЛІЗМУ
«В перші роки XX сторіччя математики, які любили протиставляти безконечним дискусіям між філософами надійність своїх власних умовиводів, у свою чергу, були збиті з пантелику, виявивши, що вони не завжди спроможні порозумітися між собою. Йшлося не про ті узвичаєні суперечки з приводу суто математичних питань, які були буденним явищем у їхньому колі, а про набагато глибші незгоди, очевидно, непримиренні, що виникали на самому рівні уявної логічної очевидності й торкалися надійності того чи того визначення або способу доведення теорем. Те, що видавалося цілком очевидним і незаперечним для одних, для інших було позбавлене змісту — і навпаки. Аксіома вибору, що її Цермело вважає за слушне, з огляду на її очевидність, узяти за одну з основ своєї системи аксіоматизації теорії множин, іншими математиками відкидається як суперечлива й незрозуміла. Безумовна леґітимність доведення від абсурду, універсальна застосовність таких логічних принципів, як принципи третього виключеного та подвійної неґації, заперечуються інтуїціоністами, тоді як доведення цих останніх залишаються неприйнятними для математиків іншої школи. Один з них 1, опинившись у ситуації майже відвертого скандалу, дійшов до того, що припустив наявність якихось серйозних відмінностей фізіологічного характеру між людськими мізками, внаслідок чого одні математики залишаються абсолютно глухі до арґументів інших.
1 J. Hadamard dans sa preface au livre de F. Gonseth «Les fondements des mathematiques», Paris, Blanchard, 1926, pp. VI — VII.
Єдиним виходом із такої ситуації було б попросити кожного, щоб він подав, пишучи чорним по білому, вичерпний список експліцитних правил, за якими він збирається будувати свої доведення. А це через відсутність універсальновизнаної логіки, яка /108/ контролювала б побудову ланцюжків арґументації, можна зробити, лише звівши свою окрему логіку до правил суто знакового числення. Лише в такий спосіб вдасться об’єктивно контролювати, чи автор у своїх розважаннях точно слідує правилам гри, які він сам-таки встановив для себе, обминувши, принаймні на якийсь час, — усякі дискусії щодо законності цієї системи правил».
Роберт БЛАНШЕ. «Логіка та її історія» (Robert BLANCHE. «La Logique et son histoire», Armand Colin, 1970, pp. 348 sq.).