3. Епістемологія математики

Тут насамперед постають кілька центральних запитань: яка природа математичних об’єктів? Чи це ідеальні сутності, чи /273/ прості конструкти людського розуму? Платонізм чи конструктивізм?

Далі виникають проблеми, пов’язані з формалізацією та аксіоматизацією, межі яких були визначені теоремами Ґеделя і Коєна, межі, що примусили деяких учених говорити про «кінець визначеності» в математиці.

Сучасне розвінчання порядку також внесло великі зміни в наше ставлення до математики: цей процес поставив під сумнів математичний платонізм і сприяв виникненню нового бачення, пов’язаного, наприклад, зі смаком до математичних «монстрів», що мають дивовижні властивості...

І, нарешті, класичні взаємини між математикою й експериментальними науками мають бути переглянуті під незвичайним кутом: інформатика значно розширює експериментальне поле, але тією самою мірою полегшує і працю теоретиків; вона надає нового змісту дослідженням і стосункам між ідеальними математичними сутностями й ескпериментальними фактами.

Який же буде остаточний висновок? Якщо Рене Тон проголошує кризу математики, то інші дослідники не висловлюються так категорично. Читач матиме нагоду зробити свій власний висновок, ознайомившись із кількома текстами нашого досить-таки грубого досьє.

Чи існують математичні об’єкти? Платонізм чи конструктивізм?

Яка природа математичних сутностей? Це дуже давнє питання постає на обрії всіх напрямків сучасної епістемології.

Вже Платон у IV сторіччі до Р.Х. говорив про «квадрат у собі», «коло в собі», і його вчення сприяло виникненню математичного платонізму, концепції, згідно з якою математика має справу з інтелігібельними формами, трансцендентними щодо кожного окремого математика.

¹ R. APERY, in «Penser les mathematiques», Points-Sciences-Seuil, p. 59. /274/

Ці запитання здаються цілком виправданими, зважаючи на те, що математика, розташована на межі сенсибельного та інтелігібельного, неминуче примушує теоретика замислитися про справжню сутність математичного об’єкта, такого неоднозначного, адже він виступає водночас як об’єкт емпіричної інтуїції і як ноуменальна форма. Тож який точний статус математичних об’єктів? Математичний платонізм надає їм інтелігібельної і майже онтологічної реальності, тоді як конструктивіст бачить у них прості продукти математичної діяльності.

Математичний платонізм, зокрема, розвивав чеський математик Больцано (1781 — 1848 pp.), його традиції згодом підхопили й розвинули німецький математик Кантор (1845 — 1918 pp.) і Расел (1872 — 1970 pp.). В деяких випадках вочевидь проступало його метафізичне, а то й релігійне забарвлення.

«Без невеличкої домішки метафізики, на мою думку, неможливо заснувати точну науку. Метафізика, як я її розумію, це наука про те, що є, тобто про те, що існує, а отже, належить тому світові, який є світом у собі, а не тому, яким він постає перед нами» ¹.

Попри свою метафізичність, математичний платонізм знаходить прихильників і сьогодні серед досить великого числа математиків. Так, наприклад, платонівський погляд на цю проблему активно захищає Ален Кон, нагороджений медаллю Філдза, титулярний професор кафедри математичного аналізу та геометрії у Колеж де Франс. Він, зокрема, стверджує, що послідовність простих чисел має більш стабільну реальність, аніж матеріальний світ, який нас оточує. У своєму діалозі з Жаном-П’єром Шанже «Матерія для думки» Кон убачає в математичних об’єктах властивості бути незалежними від людини, а отже, щось набагато більше, ніж продукти діяльності мозку (теза нейрофізіолога Ж.-П. Шанже). Математика далека від того, щоби бути просто мовою, вона характеризується певним ступенем онтологічної щільності.

¹ Cantor, cite par R. APERY, in «Penser les mathematiques», Points-Sciences-Seuil, p. 59.

Що ж до «конструктивізму», то хоча цей дуже далекий від платонізму підхід іноді й подають у карикатурному вигляді, проте він править за основну доктрину багатьом сучасним математикам. Це не просто доктрина, а ще й метод, який віддає перевагу конструюванню об’єктів, що з ними математик має справу, при-/275/чому такі об’єкти наділені лише тими властивостями, котрі можуть бути використані як символи в ланцюжках доведення: з цього погдяду, математика має справу з сутностями, які існують не в інтелігібельному всесвіті, незалежному від матерії, а в думці самого математика. Так, скажімо, рівнобічний трикутник буде таким собі інструментом думки, спорудою — фігурою з трьома рівними сторонами — вибудуваною в людському мозкові, що продукує форми організації. Якщо, з погляду платонізму, математичні об’єкти походять із неба, то в уявленні конструктивізму вони виникають унаслідок процесу утворення, що має прозаїчніший і більш земний характер.

В цьому зіткненні двох кардинальних ідей, звичайно ж, не слід рубати з плеча. Так, наприклад, — ми в цьому переконаємося далі — актуальна тема математичної випадковості, як здається, заводить дуже далеко від чистих математичних сутностей. Наводимо чотири тексти. Спочатку йтиме фрагмент із твору Ж.-Т. Дезанті «Мовчазна філософія», де цей філософ-математик (колишній учень Вищої Педагогічної школи, який присвятив свої труди епістемології математики, автор «Математичних ідеальних об’єктів», 1968 р.) доводить нам, що математика походить не з неба і не з землі: хоча й не існують ані інтелігібельна ідея, ані інтелігібельне небо (що привело б нас до теології, зазначає Дезанті), проте математичні операції завжди приводять до розриву з емпіричними полями. На початку розділу, з якого взято наш текст, Юлія Кристева (семіолог) ставить Дезанті цілу низку запитань. Тут ідеться про друге запитання (з нього починається наш уривок), на яке відповідає Дезанті.

МАТЕМАТИКА ПОХОДИТЬ НЕ З НЕБА І НЕ З ЗЕМЛІ

« — Ви написали в передмові до «Ідеальних математичних сутностей», що математика походить «не з Неба і не з Землі». Що ви під цим розумієте? Що це за таке місце — між Небом і Землею? І який насправді статус того, що ви називаєте «ідеальною сутністю»? [...]

— Спробуймо витлумачити терміни моєї метафори.

«Математика походить не з Неба». Це означає, що ніде не існує світу математичних сутностей, такої начебто математики в собі, до якої математика, практикована людьми, відкриває доступ. Реалізм структур видається мені абсурдним — і, в кінцевому підсумку, він може спиратися тільки на теологію. /276/

«Математика походить не з Землі» Це означає, що математичні операції не мають нічого спільного ані з формами організації, які існують у полі сприйняття, ані з видами активності (якщо такі справді існують), що реґулюються виключно вимогами цього поля. Ці висновки відразу спонукають мене відкинути обидві традиційні форми «математичної філософії»: одна з них полягає в тому, що беруться речі «згори» й визначаються ідеальні й вічні структури, втіленням яких і є наша «історична математика»; друга традиція полягає в тому, що об’єкти беруться «знизу» і в первісному пережитому досвіді відшукуються корені реальності, про які йдеться у висловлюваннях практично виробленої математики.

Проголошуючи, що «математика не походить із Землі», я ніколи не хотів сказати, що означені структури є лише штучними риштуваннями без жодного зв’язку з природою речей. Я хотів сказати (і це видається мені сумісним із тими скромними знаннями, які я маю з історії наук), що коли ми хочемо визначити «добрі структури», тобто такі, які дають нам адекватне уявлення про «природу речей», дуже важливо порвати з першою видимістю, в якій постають перед нами ці речі і яку я метафорично називаю «Земля». [...]

Що ж до запитання, як знайти і як визначити оте місце «між Небом і Землею», то воно становить не більше інтересу, ніж якби ми, скажімо, поцікавилися: «Куди, з біса, поділася граматика французької мови, коли я розмовляю англійською? «Ви можете помістити його де заманеться: у книжках, на кінчику язика, в горлі або на пальцях.

Жан-Тусен ДЕЗАНТІ. «Мовчазна філософія» (Jean-Toussaint DESANTI. «La Philosophie silencieuse», Seuil, 1975, pp. 219, 225 — 227.

A зараз познайомімся з дискусією між Аленом Коном (А.К.) і Жаном-П’єром Шанже (Ж.-П.Ш.) В «Матерії для думки» /277/перший оголошує математичні об’єкти сутностями, незалежними від людини, тоді як Шанже прив’язує ці реальності до діяльності мозку. Це досить-таки дивний діалог.

ЧИ ІСНУЮТЬ МАТЕМАТИЧНІ ОБ’ЄКТИ НЕЗАЛЕЖНО ВІД ЛЮДСЬКОГО МОЗКУ

«Ж.-П.Ш.: Перейдімо до природи математичних об’єктів. Тут обстоюються дві діаметрально протилежні позиції, «реалізм» і «конструктивізм». Для «реаліста», який знаходить натхнення безпосередньо в думці Платона, світ населений ідеями, що мають реальність, відмінну від реальності сенсибельної [...]. Численним є табір сучасної математики, які проголошують себе «реалістами». Наприклад, Дьєдоне писав: «Досить важко охарактеризувати погляди цих математиків, які, до речі, відрізняються один від одного. Вони вважають, що математичні об’єкти мають «реальність», відмінну від реальності сенсибельної (можливо, подібну до тієї, якої Платон надавав своїм «Ідеям»?)» Такий видатний математик, як Кантор, писав, що «найвища досконалість Бога — це можливість творити нескінченні множини, і Його необмежена доброта спонукала Його творити їх». Тут ми потрапляємо у сферу mathesis divina ¹, в повну метафізику, що видається досить незвичайним для серйозних учених Декарт уже звертався до метафізики в питаннях геометрії [...]. Для «конструктивістів» математичні об’єкти є сутностями розуму, які існують лише в думці математика.

¹ Божественного знання (греко-латин.).

А.К.: Гадаю, я близький до реалістичного погляду. Для мене послідовність простих чисел, наприклад, має стабільнішу реальність, аніж матеріальна реальність, яка нас оточує. Можна порівняти математика, що працює за своїм робочим столом, із дослідником, який відкриває світ. Практика дає змогу встановити прості факти. Наприклад, від-/278/значають, роблячи звичайні підрахунки, що послідовність простих чисел, мабуть, не має кінця. Після цього завдання математика полягає в тому, щоб довести нескінченність ряду простих чисел. Це давній результат, який ми завдячуємо Евклідові. Це доведення свідчить, що якби одного дня хтось заявив, ніби йому пощастило знайти найбільше просте число, було б легко переконати його, що він помиляється. Отже, ми тут маємо справу з реальністю, так само незаперечною, як і реальність фізична.

Ж.-П. Ш.: А мені, навпаки, здається, що математичні об’єкти існують матеріально в твоєму мозкові. Ти розглядаєш їх внутрішньо через свідомий процес, у психологічному значенні терміна. Якщо ти спроможний вивчати їхні властивості, то це тому, що і об’єкти мають матеріальну реальність. Ти згадав про факт ментальних ротацій і про об’єкти, які наш мозок сприймає у фізичному розумінні. Наш мозок — це складний фізичний об’єкт. Будучи ним, він конструює «уявлення», які можна ототожнити з фізичними станами. Тому математичні об’єкти, що існують у голові математика, — це об’єкти матеріальні, «об’єкти ментальні» з властивостями, які можуть бути проаналізовані через рефлективний процес. Цей останній може звертатися до інших, банальніших математичних об’єктів, що їх ти називаєш «знаряддями». Але я не вважаю, що вони мають радикально іншу природу, хоча належать до різних рівнів абстракції та складності. І, нарешті, математична праця вимагає застосування мозкових спроможностей раціонального мислення, логічних умовиводів, які, на мою думку, безпосередньо пов’язані з організацією нашого мозку і які існували в ньому, принаймні частково, вже тоді, коли став виробляти свою стратегію обробітку кам’яних знарядь. Отже, «математичні об’єкти» ідентифікуються з фізичними станами нашого мозку до такої міри, що в принципі їх, мабуть, можна спостерігати іззовні завдяки методам церебральної уяви. Вони ще не досить точно визначені, щоб ми могли успішно здійснити цей експеримент, але така ідея існує. [...]

Я вельми сумніваюся в слушності тієї думки, ніби математичні об’єкти існують «десь у Всесвіті», не спираючись ані на матеріальну, ані на церебральну реальність. Мені здається доцільним дивитися на працю математика з певної дистанції і, зокрема, на об’єкти, які він конструює. Треба помістити математичний об’єкт у ту історичну ситуацію, в якій він виник. Математику в нас вивчають як таку собі зв’язну сукупність висловлювань, теорем, аксіом. Забувають, що вони з’являлися поступово впродовж історії математики та людських суспільств, тобто, що йдеться про об’єкти культури, які перебувають у процесі еволюції. Поміщаючи /279/ ж математичні об’єкти в історичну перспективу, ми, навпаки, дістаємо змогу «секуляризувати» їх, зробити їх більш випадковими, ніж вони здаються».

Жан-П’єр ШАНЖЕ, Ален КОН. «Матерія для думки» (Jean-Pierre CHANGEUX, Alain CONNES. «Matiere à pensee», Ed. Odil Jacob, 1989, pp. 25, 28 — 30, 35).

A зараз, щоб допомогти читачеві краще зорієнтуватися в проблемах конструктивізму, подаємо текст Р. Апері, професора Каенського університету, який у «Математичних дужках» розглядає проблеми конструктивної математики. Спочатку прихильник ідей математичного платонізму (Больцано, Фреґе, Кантор, Расел) та його теологічних постулатів («Бог, на думку Кантора, створює нескінченні множини»), Апері згодом перекидається до формалізму, а потім і до конструктивізму.

КОНСТРУКТИВНИЙ МАТЕМАТИК

«Екстраполюючи реальність, конструктивний математик відмовляється від фантастичних гіпотез платоніків. Справді:

1) Він не вірить у свою вічність: математична діяльність мала свій початок.

2) Він вірить у те, що математичні сутності — це сутності, породжені раціональним розумом; вони виникають у той момент, коли математик дає їм визначення, й вони можуть з’явитися раніше за появу всіх математиків.

3) Він з’ясовує, що математика розгортається в часі. Математичне міркування — це метод доведення того факту, що коли ми припустимо істинність певних тверджень раніше, то інші стануть істинними потім.

4) В разі свого безсмертя він зміг би добутися до яких завгодно великих чисел, але однаково не зміг би переглянути їх усі; він вірить у нескінченність потенційну, але не вірить у нескінченність актуальну.

Тоді як математики ідеальні взаємозамінні, конструктивні математики відрізняються один він одного, і кожен з них змінюється в часі; це розмаїття вносить у математичну діяльність суб’єктивну частину, якої /280/ не можна усунути. Ця суб’єктивна частина виявляє себе у творенні, в навчанні, у відтворенні. Але попри всю її важливість, не вона спричиняє відмінність між математикою статичною і математикою конструктивною. [...]

Як і платонік, але всупереч формалісту, конструктивний математик визначає певну реальність за математичними об’єктами, проте істотно відрізняє їх від матеріальних об’єктів, приписуючи їм лише такі властивості, які можна довести. Аналогічну різницю можна провести між героями романів та історичними персонажами. Запитання щодо Верцингеторикса має відповідь, навіть якщо вона й виходить за межі нашої спроможності; подібне запитання стосовно Дон Кіхота матиме відповідь лише в тому випадку, коли її можна вивести зі змісту Сервантесового роману».

Роже АПЕРІ. «Конструктивна математика» (Roger APERY. «Mathematique constructive»), in «Penser les mathematiques», Points Sciences-Seuil, 1982, p. 63).

І, нарешті, подаємо текст, який допоможе поглибити розглянуте поняття конструктивізму. Це уривок із праці М. Клайна, американського математика, професора Нью-йоркського університету, «Математика: кінець визначеності».

КОНСТРУКТИВІЗМ

«Поняття або об’єкти, що їх інтуїціоністи визнають леґітимними для математичного обговорення — об’єкти, про які справді можна сказати, що вони існують, — мають бути конструктивними; тобто можливо запропонувати метод, за яким ми побудуємо вказану сутність або сутності за скінченне число етапів, або метод, що дозволив би обчислити їх з будь-якою наперед заданою точністю. Так, тс є величиною прийнятною, тому що ми можемо обчислити її з точністю до того десяткового знака, який нам потрібен. А якби, скажімо, ми довели тільки існування цілих чисел x, y, z і n, що задовольняють умовам xⁿ + yⁿ = zⁿ < — > для n > 2, проте не уточнили б, про які саме цілі числа йдеться, інтуїціоністи не визнали б це за доказ. З другого боку, визначення простого числа є конструктивним, тому що можна /281/ застосувати процедуру, яка за певну кількість етапів з’ясує, чи це число є простим».

Моріс КЛАЙН. «Математика: кінець визначеності» (Morris KLINE. «Mathematiques: la fin de la certitude», Ed. Christian Bourgois, 1980 — 1989, pp. 435 sq.).

Формалізація та аксіоматизація: проблеми визначеності та єдності математики й логіки

Питання, пов’язані з формалізмом та аксіоматизацією, ставлять перед нами ще складніші проблеми; вони підводять нас до краху математичної визначеності, до розриву єдності в полі цієї дисципліни. В кінці нашого сторіччя, внаслідок ретельного дослідження основ, по суті, пішла в небуття ідея єдиної й абсолютної математики.

На короткий час повернімося назад: ми вже досить уважно розглянули проблеми формалізму та аксіоматизації в п’ятому розділі Першої частини. Щоб зупинитись на найістотнішому, згадаймо, що Тарський, Лукашевич, Левенгайм, Сколем, Ґедель та багато інших поклали край пошукам «абсолютних» основ у математиці й логіці.

Але руйнація абсолютів цим не завершилася.

У 1940 р. Ґедель доводить і публікує нову теорему, що стосувалася аксіоми вибору ¹ і гіпотези континууму ², теорему, якій судилося зіграти в становленні математики набагато важливішу роль, аніж зіграли теореми 1931 року.

¹ Аксіома вибору: можливо в кожній підмножині заданої множини вибрати окремий елемент, навіть якщо таких підмножин нескінченна кількість.

² Гіпотеза континууму: не існує, в строгому розумінні, числа елементів множини між числом цілих чисел і числом дійсних чисел (обидві ці множини нескінченні); тобто не існує жодної множини, яка б містилася між множиною цілих натуральних чисел і множиною дійсних чисел.

Справді-бо, велика праця з аксіоматизації та формалізації теорії множин привела на початку нашого сторіччя до створення системи Цермело-Френкеля, яку /282/ сьогодні визнають більшість математиків, коли вони цікавляться теорією множин, що є, згадаймо, підмурком для всієї математики. Так от, ця система вимагає — у випадках, які стосуються великого числа доведень, — щоб дві аксіоми, аксіома вибору та гіпотеза континууму, були додані до первісного списку аксіом. Проте саме з приводу цих двох аксіом серед математиків виникли принципові розбіжності, що призвели до утворення багатьох шкіл, у залежності від того, приймали чи відкидали вони вказані аксіоми. Але що сказав Ґедель з приводу цих двох аксіом? Його теорема формулюється так: якщо система Цермело-Френкеля несуперечлива без цих двох аксіом, тоді несуперечливою буде й система, одержана внаслідок їхнього приєднання, а це означає, що їх не можна спростувати й вони прийняті з погляду доведень. У 1963 р. Пол Коен, американський математик, довів цілковиту незалежність цих аксіом щодо системи Цермело-Френкеля і їхню незалежність одна від одної в разі несуперечливості системи: отже, вони становлять нерозв’язні судження. Стверджувати, що вони незалежні, означає надати математикові леґітимне право прийняти їх чи відкинути у випадку створення своєї системи. Звичайно, теорема неповноти Ґеделя приводить до цього ж таки результату, але нерозв’язне судження, на якому побудоване доведення Ґеделя, має штучний характер і не застосовується в доведеннях, до яких звичайно вдаються. Пол Коен переводить у поле нерозв’язності дві дуже часто застосовувані аксіоми, що надає його теоремам великої практичної ваги. Отже, маємо таку ситуацію:

а) Насамперед, складається враження, що існує цілком реальний ризик безладу та розпаду в математиці, оскільки математики можуть довільно користуватися тією системою, яка видається їм більш придатною.

б) Аксіома вибору, як і гіпотеза континууму, застосовуються в багатьох доведеннях; відкинути їх (або відкинути одну з них), отже, означатиме звузити ефективне поле математики.

Доведення Ґеделя, а надто Коєна, відкривають двері для вторгнення нових математичних аксіоматизацій; тепер математики воліють користуватися довільно обраними системами аксіом; ідея єдиної й абсолютної математики розвіялася.

А що можна сказати про логіку? Ми спостерігаємо розквіт логік, які відкидають або видозмінюють розмаїті принципи або закони класичної логіки (як, наприклад, закон третього виклю-/283/ченого). Ми вже обговорювали цей процес раніше (див. вище, с. 99 і далі), процес, розпочатий Тарським, Лукашевичем, Постом, Райхенбахом та ін. Потреби інформатики, зокрема потреби Штучного Інтелекту, надають значного імпульсу дослідженням. Справді, намагаючись відтворити функціонування людського розуму, Штучний Інтелект приводить до необхідності відтворювати невизначене, неточне, приблизне, неповне, які водночас характеризують повсякденне віддзеркалення реальності в мові та узвичаєну манеру людини давати раду проблемам, що постають перед нею. Абсолютний поділ на істинне й хибне, нав’язуваний класичною логікою (під цією назвою звичайно розуміють аристотелівську логіку та сучасну логіку суджень) раціональному мисленню та дійсності, виявляється за таких умов неприйнятним. Отже, чи не найголовніша мета нових логік — це запровадження градації між істинним і хибним і навіть стирання чіткої межі між двома протилежними значеннями істинності, якими є «істинне» і «хибне». Але новітня логіка ставить перед собою й інші цілі: потребу представити видозміни, спричинені часом (темпоральні логіки), відбити процес перегляду результатів унаслідок нових подій (немонотонні логіки) тощо. Ці логіки, що дістали назву некласичних або нестандартних, створюються і розвиваються за двома основними напрямками: одні з них виникають унаслідок розширення класичної логіки, інші — прямо протиставляються їй. Тут ми не маємо змоги входити в подробиці щодо цих логік. Читач ознайомиться далі з текстом Реймонда Тернера, де уточнюються принципи такого поділу.

Таким чином, єдність і визначеність покинули поле математики та логіки. То що, ці дві науки зайшли в глухий кут? Аж ніяк. Перед математиками й логіками відкриваються нові перспективи наукового пошуку; «дикі території» (Клайн) відкриваються для шукачів авантюрних пригод: сьогодні, наприкінці XX сторіччя, дух відкриває для себе безліч нових доріг.

Спочатку подаємо текст Жана Дьєдоне, що підкреслює роль інтуїції в математиці, обмежуючи таким чином можливості формалізації. Односум Сартра по Вищій Педагогічній школі, член-засновник групи математиків, що публікують свої праці під псевдонімом Бурбакі, автор трактатів із загальної топології, він не відкидає інтуїцію. У своєму творі «На честь людського духу» він показує, як завдяки цій останній можна підняти в математиці завісу. /284/

ІНТУЇЦІЯ І АБСТРАКЦІЯ

«Всі великі математики, котрі говорили про свою працю, завжди наполягали на тій ролі, яку відіграє в цьому процесі те, що вони звичайно називають «інтуїцією» ¹. Людині невтаємниченій це може здатися дивним: відкривши сьогодні будь-яку книжку з математики, він не побачить там нічого іншого, крім сотень теорем, лемм, формул, доведень, які взаємопов’язані між собою в складний спосіб, підкоряючись невблаганним правилам логіки, і все це стосується математичних об’єктів, що не можуть мати ніякого наочного «образу» в нашому сенсибельному світі. Я знав математиків старшої ґенерації, чия глибока обізнаність у методах класичного аналізу не викликала найменшого сумніву, котрі, проте, не могли збагнути, як їхнім молодшим колегам щастить так упевнено плавати в океані «абстракцій»; вони схильні уподібнювати їхні умовиводи до роботи машин, що оперують формулами, не намагаючись зрозуміти їх.

¹ Англосакси частіше вживають тут слово «insight», яке, можливо, краще підходить для цього терміна, маючи дещо магічний відтінок значення.

Я вважаю, що нема нічого більш далекого, ніж істина; але очевидно, що слід відмовитися розуміти слово «інтуїція» так, як звичайно його розуміють. Труднощі полягають у тому, що те, що математик називає «інтуїцією», для нього цілком особистий психологічний досвід, який майже неможливо комусь передати, і є всі підстави вважати, що «інтуїції» двох математиків найчастіше бувають зовсім різні.

Водночас, мабуть, не буде цілком ілюзорним виділити деякі характеристики цього досвіду, що здаються мені досить загальними, хоч і спираються на мої персональні спогади. По-перше, коли людина починає цікавитися тією або тією теорією, якої вона не знала раніше, вона не має про неї жодного «інтуїтивного» уявлення, хоча й може поетапно перевірити формальну істинність усіх теорем теорії. Вона ставить собі запитання, які згодом здаватимуться їй безглуздими, і вона абсолютно неспроможна зробити подумки умовиводи, аналогічні тим, що записані на папері. Потім, якщо людина виявляє впертість, завіса помалу починає підійматися; людина починає розуміти, чому математики, які створювали цю теорію, обрали саме ці напрямки доведень, а не якісь інші. Об’єкти теорії стають знайомими; людина починає розуміти, що вони поводяться в досить «природний» спосіб, якого не слід порушувати. Саме в такий момент іноді щастить помітити нову теорему чи новий спосіб доведення, які йдуть далі, ніж попередні. «Інтуїція» прийшла, але її недосить; треба буде підкорити інтуїтивно знайдене доведення імперативним правилам /285/ логіки, ретельно звіряючи з ними кожен його етап. Це дуже копітка й нелегка праця, яка досить часто виводить дослідника на несподівані рифи і приносить тяжкі розчарування.

Яким чином сьогоднішній математик спроможний просуватися всіма цими стежками, які ведуть до відкриття, — що однаково вабило до себе в усі історичні епохи [...], коли поняття, якими він оперує, позбавлені будь-якого сенсибельного «образу»? Я гадаю, що він створює лише для себе суто ментальні образи цих математичних об’єктів, образи, що їх важко передати комусь іншому. Точне формулювання аксіом, що їх визначають, звідки вилучено всі поверхові особливості, які вони виявляють у розмаїтих застосуваннях їхньої структури, може допомогти утворенню таких образів; іншими словами — і хоч яким це може здатися парадоксальним — абстракція не тільки паралізує утворення «інтуїції», а й активно йому сприяє».

Жан ДЬЄДОНЕ. «На честь людського духу» (Jean DIEDONNE. «Pour l’Honneur de l’esprit humain»), Pluriel-Hachette, 1987, pp. 176 sq.).

Далі подаємо текст Алена Кона, де зроблено спробу інтеґрувати сучасні труднощі й, зокрема, апорії теорем Ґеделя, в позитивне бачення, в теорію інформації, що має справу з системами, які можна передавати за допомогою сиґналу або комбінації сиґналів: оскільки кількість інформації, закладеної у формальну систему, є нескінченною, істинні судження не можуть бути зведені до кінечного числа аксіом. Отже, нелегка проблема формалізації залежить від багатьох прочитань або інтерпретацій.

МАТЕМАТИКА — СВІТ РОЗГАЛУЖЕНЬ

«А.К.: [...] Висловлювання слід вважати нерозв’язним у тому випадку, якщо ані його істинність, ані його хибність не суперечитиме аксіомам, з якими ми щодня працюємо, не враховуючи його можливу суперечність теорії множин.

Ж.-П. Ш: Отже, внутрішніх аксіом системи недостатньо для розв’язання.

А.К.: Атож. Розгляньмо таке висловлювання, як Ґеделева теорема неповноти. Вона стверджує, що хоч би якими були аксіоми, задані /286/ кінечним списком чи в довільно обраний рекурсивний спосіб, завжди будуть запитання, на які не можна відповісти, які залишаться нерозв’язними, бо для такого розв’язання бракуватиме інформації. Іншими словами, теорема Ґеделя доводить, що неможливо побудувати таку кінечну систему аксіом, у якій можна було дати відповідь на всі запитання. Це не означає, що не можна проаналізувати якесь питання, відштовхуючись від того, що нам відомо, але це означає, що число цікавих і нових запитань, які слід додати до відповіді, необмежене. Ось як треба розуміти теорему Ґеделя. Гадаю, було б помилкою робити з неї висновок, що спроможність людської машини має певні межі. Ця теорема лише стверджує, що в системі з кінечним числом аксіом ми не знайдемо відповіді на все. Але якщо запитання не має відповіді, якщо ми довели його нерозв’язність, ми можемо дати на нього умовну відповідь і продовжити низку своїх міркувань.

Це означає, що кожне нове нерозв’язне запитання породжує розгалуження, на якому ми можемо обирати позитивну чи неґативну відповідь. Тобто світ, у якому ми мандруємо, має багато можливих розгалужень. От що все це означає — і більш нічого. Як тільки ми на якесь запитання даємо якусь відповідь, можна йти далі й ставити собі нові запитання. Тоді чимало колишніх нерозв’язних запитань стають розв’язними... Кожне нерозв’язне запитання створює розгалуження і ставить нас перед вибором. [...]

Насправді, якщо ми розглянемо її найглибше формулювання, Ґеделева теорема неповноти показує, що не можна звести математику до формалізованої мови. На початку нашого сторіччя математики шукали способів уточнити, що являє собою доведення в математиці. Гільберт побудував штучну мову, що використовувала кінечний алфавіт, кінечне число граматичних правил, які давали змогу недвозначно виявляти зв’язні висловлювання, і кінечне число правил логічного виводу та первісно істинних висловлювань або аксіом. На підставі такої системи або формалізованої мови універсальний алгоритм дозволяє з’ясовувати законний характер доведення, сформульованого в цій мові. Таким чином, можна, принаймні теоретично, встановити перелік усіх теорем, які мають доведення в цій формалізованій мові. Гільберт мав надію звести всі математичні теореми до тих, які можуть бути доведені в придатній для цієї мети формалізованій мові. Теорема Ґеделя засвідчила, що це неможливо. Хоч би якою складною була формалізована система, у ній завжди знайдеться висловлювання, де йтиметься про натуральні числа, яке буде істинним і якого водночас не можна буде довести в цій формалізованій системі. Багато наполягали на неґативному аспекті цієї /287/ теореми, що внеможливлює дати чітке визначення математичному доведенню. Але хіба не можна поглянути на неї і під таким кутом: істинні судження про натуральні числа не зводяться шляхом логічних операцій до кінечного числа аксіом. Отже, кількість інформації, що міститься в сукупності всіх цих суджень, нескінченно велика. Хіба в цьому ми не знаходимо характеристику реальності, незалежної від людської спроможності творення?»

Жан-П’єр ШАНЖЕ, Ален КОН. «Матерія для думки» (Jean-Pierre CHANGEUX, Alain CONNES. «Matière à la pensee»), 1989, Ed. Odile Jacob, pp. 208 — 209, 211).

Водночас y 1980 p. Моріс Клайн, міркуючи над проблемами основ, вважає гідним жалю сучасне становище математики. Отже, цього математика ніби змагають протилежні почуття, породжені крахом основ: з одного боку, йому здається, що це відкриває нові шляхи для наукового пошуку, а з другого — що це провіщає кризу.

ДО НЕОСВОЄНИХ ТЕРИТОРІЙ

«Всі дослідження основ математики, починаючи з 1900 p., лише збивають нас із пуття, і сучасний стан математики є ненормальним і гідним жалю. Світло істини більше не освітлює дорогу, яка лежить перед нами. Замість єдиної і неподільної математики, що викликала загальний захват і чиї доведення, хоч іноді вони й потребували певної корекції, вважалися найвищим досягненням правильного раціонального мислення, ми маємо тепер щось цілком протилежне нашому уявленню про математику. Навіть якщо не брати до уваги логіцистичних, інтуїціоністських та формалістських міркувань, то всякий математичний підхід, опертий на одну теорію множин, уже передбачає можливість кількох варіантів вибору. Можливі кілька неоднакових і навіть конфліктних рішень, включно з тими, які розглядаються в перспективі інших шкіл. Таким чином, конструктивістський метод, інтеґрований у філософію інтуїціонізму, складається з вибухонебезпечних тенденцій. Всередині формалістичної течії доводиться робити вибір, щоб ми точно знали, які математичні принципи будуть /288/ застосовані. Нестандартний аналіз, хоч і не становить доктрину жодної наукової школи, дозволяє розмаїття підходів і може привести до розбіжних, а то й суперечливих концепцій. У останньому випадку те, що раніше розглядалось як алогічне й було вилучене з науки, тепер сприймається певними школами як логічно коректне.

Внаслідок цього зусилля, спрямовані на те, щоб уникнути можливих суперечностей і домогтися надійності математичних структуру, у широкому плані, зазнали невдачі. Більше не існує узгодженого погляду на те — хоч би що ми розуміли під словом «узгоджений» — чому слід віддати перевагу: перспективі аксіоматичного підходу — а якщо так, то які саме аксіоми слід запроваджувати, — чи перспективі інтуїціоністській, неаксіоматичній. Найпоширеніше уявлення про математику, згідно з яким вона являє собою низку структур, кожна з яких вибудовується на своєму власному наборі аксіом, виявляється неадекватним, коли ми хочемо зрозуміти те, що прагне охопити математика, а з другого боку, вона охоплює більше, ніж повинна охоплювати. Розбіжності сьогодні поширюються навіть на методи умовиводу. Закон виключеного третього більше не є незаперечним логічним принципом, і теореми існування, що встановлюють неможливість кількісно обчислити множини, існування яких доведено, правлять за яблука розбрату незалежно від того, звертаються вони чи не звертаються до закону виключеного третього. Отже, надію на побудову бездоганних логічних ланцюжків раціонального умовиводу слід полишити. Очевидно, що різні корпуси математики стоять перед множинністю вибору. Останні наукові розвідки основ знання зламали усталені кордони, але наслідком стало те, що науковий пошук вийшов на неосвоєні території».

Моріс КЛАЙН. «Математика: кінець визначеності» (Morris KLINE. «Mathematiques: la fin de la certitude», Ed. Christian Bourgois, 1980 — 1989, pp. 502 — 503).

І, нарешті, подаємо текст Реймонда Тернера, професора комп’ютерних наук Ессекського університету. Це уривок із праці «Логіка для штучного інтелекту», де йдеться про нові напрямки в логіці. /289/

РОЗКВІТ ЛОГІК

«Термін «нестандартна логіка» — це родовий термін, застосовуваний щодо всякої логіки, яка не є класичним численням суджень та предикатів. Схематично ці логіки можна розкласифікувати на дві групи: ті, які суперечать класичній логіці, і ті, які є її розширеними варіантами. До першої групи належать багатозначні ¹, плинні ² та інтуїціоністськіі ³ логіки, а до другої — модальні і часові ⁴. Ми не станемо давати точне визначення вказаних груп, а спробуємо проілюструвати різницю між ними за допомогою названих логік.

Логічні системи, що виступають як суперниці класичної логіки висловлювань або предикатів, не відрізняються від неї на основі використовуваної мови. Натомість, деякі теореми класичної логіки є хибними в нестандартних системах. Найвідомішим таким прикладом є, безперечно, закон виключеного третього, A або не-A. Його можна довести в класичній логіці, але він не доводиться ані в інтуїціоністській логіці, ані в жодній зі стандартних систем тривалентної логіки.

Логіки, які є розширеними варіантами класичної логіки, приймають усі її теореми, але в загальному випадку вони продовжують її у двох напрямках. З одного боку, мови цих нестандартних логік значно ширші за мову класичної логіки і включають її в себе, а з другого боку, всяка теорема класичної логіки є теоремою цих нестандартних систем. Як правило, багатший словниковий запас цих нестандартних логік є джерелом утворення додаткових теорем. Наприклад, модальна логіка виникає внаслідок додавання двох нових операторів, L (треба, щоб) і M (можливо, що). Висловлювання A — > MA набирає тоді аксіоматичного характеру.

¹ Найпоширеніші серед них — тривалентні логіки, куди входить як третій термін «нерозв’язне», «невизначене» тощо (прим. Ж. Рюс).

² Плинна логіка має справу з неточними або туманними знаннями тощо. Вона будується на понятті плинної підмножини, яке дозволяє подати «ідею часткової приналежності до класу, категорії з неясно визначеними межами, поступовості при переході від однієї ситуації до іншої, в узагальненому варіанті класичної теорії множин, де допускаються ситуації, проміжні між «усе» і «ніщо» » (В. BOUCHON-MEUNIER. «La Logique floue», Que sais-je?-PUF, 1993, p. 5) (прим. Ж. Рюс).

³ Ця логіка виникає з конструктивістського підходу математиків-інтуїціоністів і передбачає узагальнення, надто масштабні й надто ускладнені, щоб їх можна було тут охарактеризувати (прим. Ж. Рюс).

⁴ Часова логіка має на меті дослідити висловлювання, де є посилання на час, наприклад: «Якщо Жан біжить, він бігтиме», що їх неможливо подати засобами класичної логіки (прим. Ж. Рюс). /290/

Додавання таких аксіом і правил виводу, пристосованих до цих операторів, дозволяє доводити теореми, які навіть неможливо сформулювати мовою числення предикатів».

Реймонд ТЕРНЕР. «Логіка для штучного інтелекту» (Raymond TURNER. «Logiques pour l’intelligence artificielle», Masson, 1984 — 1986, p. 1).

Невпорядкованість і математика

Скільки «абсолютних істин» розвіялося в математиці, починаючи з кінця 1920-х років!

Розвіялося й розпалося в процесі «деконструкцій» — слово сучасного розвінчування порядку, яке ставить також під сумнів математичний платонізм.

Сучасна наука (фізика, див. с. 315 і далі; біологія, див. с. 359 і далі) поновила в правах «Бога на ім’я Хаос». Сьогодні й у математиці ідея «невпорядкованості» виходить на авансцену. Філософ науки П’єр Тюїльє підкреслює і суто філософську ориґінальність сучасної математики, і її відмову (часткову) від платонізму, що привело до переоцінки ролі «невпорядкованості» в галузі математики. Сьогодні, каже цей філософ, платонівську теорію чистих і простих інтелігібельних сутностей відсунуто кудись убік. «Для того, щоб полюбити «невпорядкованість» саму по собі або, принаймні, почати дивитись на неї як на дуже цікавий об’єкт досліджень, треба було спочатку відмовитися від платонізму, тобто від віри в абсолютну ієрархію математичних форм, на вершині якої розташовуються форми «найпростіші» і «найгармонійніші». Чому, скажімо, коло внутрішньо «переважає» химерні геометричні фігури, утворені замкнутою лінією? Чому б то «хаотичний» алгоритм мав поступатися в значущості конічним формам, таким любим для прихильників класичної математики?» ¹.

¹ P. THUILLIER. «La revanche du dieu Chaos», in «La Recherche — La science du desordre», n° 232, mai 1991, p. 548. /291/

Ми спостерігаємо зростання інтересу до «невпорядкованості», до хаосу, до дивних і химерних структур: ми дуже далеко відійшли від античних уявлень, які тривали так довго і які віддавали перевагу простим і чистим Формам та Сутностям. Цей напрямок можна проілюструвати двома прикладами; один з них стосується випадковості, другий — химерності.

Математика — як і фізика, як і всі сучасні науки — бачить у випадковості (яку ми маємо підстави розглядати як одну з форм невпорядкованості, оскільки вона виключає всяку передбачуваність, крім статистичної) майже структурний елемент дійсності, а не лише поверхову і скороминущу видимість.

Випадковість не є цілковитою новиною для математики: адже теорія ймовірностей існує досить давно, існує і розвивається, збагачуючи фізику своїми потужними обчислювальними можливостями. Не про цю роль випадковості тут ідеться, а про ту, яка має місце на багато фундаментальнішому рівні: в теорії чисел існують питання, відповіді на які мають абсолютно випадковий характер, як у грі в «орла й решку».

Цей дивовижний висновок одержано з праць Грегорі Дж. Чейтіна, американського математика, що працює в центрі Томаса Вотсона фірми ТВМ, де досліджуються проблеми міжконтинентальних балістичних ракет, поблизу Нью-Йорка. Свою наукову діяльність він пов’язав із алгоритмічною теорією інформації, основи якої він заклав десь усередині 1960-х років. У результаті своїх студій, які мали надто технічний характер, щоб ми могли їх тут переказати, студій, що мали стосунок до теореми Тьюринга, згідно з якою проблема зупинки довільної інформативної програми нерозв’язна, Чейтін побудував діофантове експоненціальне рівняння (рівняння, яке включає лише операції додавання, множення та піднесення в степінь і в якому константи та невідомі є або цілими натуральними числами, або нулями). Після цього він сформулював питання, що стосувалося розв’язань цього рівняння, відповідь на яке, як з’ясувалося, має абсолютно ймовірносний характер. Таким чином випадковість проникає з доведення, що формулюються в межах теорії чисел, — теорії, яка вважається елементарною. /292/З цього погляду читачеві буде цікаво ознайомитися з наступним текстом Грегорі Дж. Чейтіна.

ВИПАДКОВІСТЬ УПРАВЛЯЄ ТАКОЖ ТЕОРІЄЮ ЧИСЕЛ

«Поняття випадковості здавна інтригує фізиків і навіть людство в цілому. Звідки вона походить, випадковість? Якою мірою можна передбачити майбутнє? Чи наша неспроможність передбачати його є наслідком принципової неможливості? Ці питання мають, у фізиці, довгу історію. Класична фізика, успадкована від Ісаака Ньютона, була цілком детерміністична: досконале знання стану якоїсь даної системи в даний момент дозволяло в принципі визначити її стан у будь-який наступний момент. Згодом, на початку цього сторіччя, виникає квантова механіка, де ймовірності та випадковість втручаються в хід подій на найфундаментальнішому рівні теорії; ця остання, в реальній дійсності, може тільки визначити ймовірність точного виміру значення точки координат, величини енергії тощо. Отже, квантова механіка ввела в природу фундаментальну невизначеність, доктрину, якої сам Айнштайн так і не захотів прийняти, про що свідчить його знаменита фраза: «Бог не грає в кості». Потім, уже зовсім недавно, з вивченням динамічних систем було помічено, що, зрештою, і класична фізика не вільна від випадковості або, точніше, від непередбачуваності, яка загніздилася в самому її осередді, бо певні системи, навіть дуже прості, такі, як система маятників, можуть бути непередбачувані у своїй поведінці [...]. Випадковість, що часто асоціюється з невпорядкованістю, стала також, принаймні у фізиці, поняттям, яке наповнене змістом.

А що відбувається в математиці, дисципліні, яка для багатьох символізує саму точність і чітку визначеність? Чи є там місце для випадковості? Навіть таке запитання звучить трохи дивно. Але відповідь на нього буде ще дивовижнішою! Чимало праць, зокрема й мої, показали, що ситуація в математиці подібна до тієї, яка панує у фізиці: випадковість має місце в математиці на фундаментальному рівні. Тут ідеться не про теорію ймовірностей, яка становить інтеґральну частину математики і є інструментом опису та вивчення випадкових явищ, причому її анітрохи не обходять причини, з яких ці явища мають випадковий характер. Нас тут цікавить зовсім інша і, з певного погляду, набагато глибша проблематика: припустімо, що нам, математикам, не вдалося довести якусь /293/ теорему, що ми не змогли відкрити структуру або закон, за якими організовані числа, або інші сутності (а таке трапляється часто і навіть у більшості випадків!). Тоді відразу виникають кілька запитань: чи так сталося з нашої вини, тому що ми виявилися не достатньо проникливими, тому що ми не досить попрацювали? А може, причина в тому, що такого математичного закону просто не існує, не існує теореми, не існує відповіді на математичне запитання, яке ми сформулювали? Саме у зв’язку з цією останньою проблемою [...] і виникають теми випадковості та непередбачуваності в математиці.

Одним зі способів спрямувати наші роздуми на це питання буде згадка про знаменитий список із двадцяти трьох проблем, який німецький математик Давид Гільберт склав у 1900 p., бажаючи кинути цим виклик XX сторіччю, що вже народжувалося на світ.

Для Гільберта і для більшості математиків тієї доби переконаність у тому, що кожна проблема має своє розв’язання, була незаперечним і самоочевидним принципом. Лише згодом Гільберт мусив визнати, що тут ідеться про тему, яку ще треба дослідити. Здійснивши таке дослідження, він з’ясував, що на просте й очевидне математичне запитання не завжди існує чітка і виразна відповідь; більше того, певна форма випадковості проникає навіть у чисту математику і зустрічається в діофантових рівняннях, що були об’єктом десятої проблеми Гільберта. Справді, ми побачимо, що на певні, досить прості питання арифметики, пов’язані з діофантовими рівняннями, існують — у добре визначеному смислі — лише відповіді, які мають цілком випадковий характер. І це не тому, що ми не можемо дати відповідь на них завтра, через сто або тисячу років, а тому, що відповідь матиме випадковий характер, хоч би до якого типу умовиводів ми вдавалися. [...]

Діофантове рівняння, яке я вивів, включає в себе близько 17 000 змінних і розташовується на 200 сторінках [...]! В чому його суть? Воно має один параметр — число N. Для кожного із заданих значень цього параметру ми ставимо таке запитання: «Чи це рівняння має скінченне чи нескінченне число розв’язань у цілих числах (тобто скінченне чи нескінченне число списків у 17 000 цілих чисел, причому кожен із цих списків є розв’язанням рівняння)?» Відповідь на це запитання виявляється випадковим арифметичним фактом, аналогічним відповіді, яку ми одержуємо при грі в орла й решку.

[...] математики, в певному розумінні, приєдналися до своїх колег, які працюють у галузі теоретичної фізики. Це не обов’язково погано. В новітній фізиці випадковість і непередбачуваність відіграють фундаментальну роль; визнання й науковий опис цього факту, який a /294/ priori міг видатися обмеженням, — це проґрес. Я переконаний, що так само можна сказати й про відповідне відкриття, зроблене в галузі чистої математики».

Грегорі Дж. ЧЕЙТІН. «Випадковість чисел» (Gregori J. CHAITIN. «Le hasard de nombres «, in «La Recherche — La science du desordre», n° 232, mai 1991, p. 611, 614 — 615).

Наш другий приклад ми запозичили з праць математика Бенуа Мандельбро, творця геометрії деформованих ліній, яка цікавиться природними об’єктами дуже неправильної й несуцільної форми. Мандельбро систематизував вивчення математичних об’єктів, яке розпочали у своїх працях Кантор, фон Кох, Пеано та ін., що створили «проміжні фігури» — проміжні між точкою і лінією, лінією і поверхнею, об’єкти, які сам Мандельбро називає «монстрами». Побудовані в такий спосіб об’єкти, будучи спочатку чистими творіннями людського розуму, виявляють дивовижні властивості: вони залишаються подібними до самих себе, незалежно від того, в якому масштабі їх розглядають; можна приписати їм «вимір», який характеризує їхню деформованість і т.д. Вони справді дуже часто являють собою об’єкти надзвичайно спотвореної форми й можуть бути уподібнені сотнями своїх властивостей до траєкторій, які вчені відкривають, коли вивчають хаос у фізиці. Геометрія деформованих ліній, далека від того, щоб бути чистою абстракцією, відбиває геометрію природи: морські узбережжя, мереживо річок тощо вельми близькі до об’єктів геометрії деформованих ліній. Ми маємо тут приклад орієнтації на об’єкти повсякденної дійсності (які в класичній математиці не могли бути зображені й абсолютно не цікавили дослідників), орієнтації, аналогії яких ми знайдемо в дослідженнях «детерміністського хаосу» (див. нижче, с. 315 і далі). Як висловлюється Мандельбро, «між сферою неконтрольованого хаосу і сферою надміру досконалого Евклідового порядку тепер розміщується нова зона порядку деформованих ліній» ¹. К. Леві-Строс, у галузі естетики, звернеться до цієї геометрії деформованих ліній (див. с. 588 і далі).

¹ В. MANDELBROT.«Les Objets fractah», Flammarion, p. 10. /295/

Математика й експериментальні науки

В усі часи математика й експериментальні науки — передусім фізика — перебували в тісних взаєминах: велика частина математичних праць надихалася потребами фізики, і навпаки, фізика збагачувалася, беручи з суто математичних, на перший погляд, досліджень моделі, які сприяли її поступові. Таких прикладів безліч — від Ґалілея, який вбачав у математиці мову фізики, й до Пуанкаре через Римана. Що відбувається сьогодні з цими прадавніми тісними взаєминами?

Ситуація видається складною. З одного боку, математики начебто замкнулися у своїй власній дисципліні, на превелику прикрість фізикам, заклопотаним пошуками нових моделей для найновітніших галузей своєї науки. З другого боку, інтерес, який усі науки виявляють останнім часом до невпорядкованості та випадкових явищ, допоміг з’ясувати, що безліч феноменів, які вивчаються, незвідні: мабуть, не існує математичних формул, що могли б їх представити. Можна тільки відтворити їхній розвиток завдяки алгоритмам (методам, що дають змогу визначити їхній розвиток), алгоритмам, які особливо пристосовані до обчислення на комп’ютерах. Ця незвідність, здається, зачепила навіть певні математичні гіпотези. Саме таким чином було «доведено» на потужній обчислювальній машині знамениту гіпотезу чотирьох кольорів (коли ми зафарбовуємо карту, на якій позначено кордони держав, то вистачить чотирьох кольорів, аби нам ніколи не довелося зафарбовувати дві сусідні держави в один колір), гіпотезу, що її так і не вдалося підтвердити чи спростувати традиційними методами. Ці ж таки інструменти сприяли вирішальному проґресу в деяких галузях фізики, передусім у фізиці «хаосу» або фізиці геометрії деформованих ліній, проґресу, що був би немислимий без застосування таких знарядь. Таким чином, цілком несподівано для вчених, утворилася галузь «експериментальної математики». Проте слід зазначити, що програми, за якими працюють комп’ютери, побудовані, зрозуміло, на працях логіків та математиків — отже, ниточка не урвалася ¹.

¹ Cf. S. WOLFRAM, «Les logiciels scientifiques» in «Pour la Science», n° 85, nov. 1984, pp. 144 sq.).

Подаємо текст М. Клайна, де йдеться про еволюцію математики. В цьому уривку з праці «Математика: кінець визначеності» /296/ автор описує розрив (принаймні видимий) між математиками та фізиками, суворо засуджуючи цей факт.

МАТЕМАТИКА ЗАМИКАЄТЬСЯ В СОБІ

«Історія математики позначена славними успіхами, але не менш густо вона всіяна катастрофами. Зникнення істини стало, безперечно, справді грандіозною трагедією, бо істина — один з найдорогоцінніших людських набутків, і втратити бодай одну-єдину істину — це вже горе. Коли було помічено, що блискучі досягнення людського раціонального розуму виявилися структурою не тільки далекою від досконалості, а й позначеною всілякими вадами і вельми вразливою внаслідок відкриття катастрофічних суперечностей, що могли виринути в будь-який момент, то вчені могли тільки констатувати, що «бездоганній» математиці завдано ще одного нищівного удару. Але не тільки ці причини породили розгубленість і смуток Тривоги математиків та розбрат, який розколює їхні ряди, пояснюються також напрямком досліджень, в якому розвивалася ця наука в останні сто років. Більшість математиків усамітнилися від світу, щоб сконцентруватися на проблемах, що виникають усередині самої математики. Вони покинули науку. Цю зміну напрямку часто описують як повернення до чистої математики, протиставляючи цю останню математиці прикладній. Але термін «чиста» і «прикладна», хоч ми їх досі вживаємо, зовсім не описують того, що відбулося. Чим була математика? Для минулих ґенерацій математика мислилася, передусім і насамперед, як найвитонченіше творіння людського розуму, що допомагало людині успішно вивчати й досліджувати природу. В цій перспективі розглядалися фундаментальні поняття, найзагальніші методи і майже всі головні теореми математики. Наука давала математиці живу снагу і становила саму її субстанцію. Математики були доброзичливими партнерами фізиків, астрономів, хіміків та інженерів у всіх їхніх наукових дослідженнях. Справді-бо, впродовж сімнадцятого й вісімнадцятого сторіч і протягом більшої частини дев’ятнадцятого мало хто зважав на різницю між математикою і теоретичною наукою. І більшість видатних математиків здійснили набагато важливіші відкриття в асторономії, в механіці, в гідродинаміці, в електриці, ніж у математиці в точному значенні цього терміна. Математика була водночас царицею і служницею наук [...]

Розлучення математики з природничими науками прискорилося в нашому сторіччі. Сьогодні ми звикли чути й читати декларації про незалежність математики від емпіричної науки. їхні автори більше не вагаються відверто заявляти про свій інтерес виключно до математики /297/ і про свою байдужість до науки. Хоча точних статистичних даних ми не маємо, можна твердити, що не менш як 90 відсотків від тих математиків, які сьогодні активно працюють, повністю нехтують емпіричну науку і не відчувають найменшого бажання позбутися свого невігластва в цій царині. Всупереч людській історії і всупереч певним опозиційним настроям, тенденція до абстрактності, до узагальнень заради самих узагальнень і до розгляду добровільно обраних проблем не переставала утверджуватися. Необхідність (сама по собі розумна) вивчення цілого класу проблем, щоб довідатися про них більше, ніж це можливо в кожному конкретному випадку, та необхідність удаватися до абстракції, щоб проникнути в саму суть проблеми, дали привід для створення узагальнень та абстракцій заради їх самих. [...]

Сьогодні математика — це дисципліна, майже повністю замкнена в самій собі. І якщо вона розвивається в напрямках, визначених її власними критеріями істотності та досконалості, то вона навіть пишається своєю незалежністю від зовнішніх проблем і від усяких чужорідних мотивацій чи впливів. Вона втратила мету і втратила єдність. [...]

Оскільки істеблішмент математичної спільноти віддає перевагу чистій математиці, то найкращі праці в прикладній галузі нині здійснюються в електричній інженерії, в інформатиці, в біології, у фізиці, в хімії, в астрономії. Як ото ті математики, що їх Гулівер зустрів під час своєї подорожі да Лапуту, пуристи живуть на острові, підвішеному в повітрі, високо над землею. Вони полишають на інших суспільні проблеми, які існують на Землі. Ці математики певний час житимуть у атмосфері, створеній навколо їхньої дисципліни математиками минулих часів, але в кінцевому підсумку вони приречені вмерти у вакуумі».

Моріс КЛАЙН. «Математика: кінець визначеності» (Morris KLINE. «Mahtematiques: la fin de la certitude», Ed. Christian Burgois, 1980 — 1989, pp. 507 — 508, 551 — 555).

Підсумки: творчий розвиток чи застій у математиці?

Чи спроможна сьогодні математична наука прогресувати і творчо розвиватися, попри апорії та невизначеності, що розквітли буйним цвітом на математичній ниві? Тут також дарма шукати одностайної відповіді, й читач не має іншого вибору, як послухати, /298/ зберігаючи обачність, сучасні дебати на цю тему, де оптимістичні обіцянки та неґативні висновки взаємоперетинаються в зіткненні суперечливих, а то й протилежних думок.

Моріс Луа, організатор філософського та математичного семінару у Вищій Педагогічній школі на вулиці Ульм, наголошує на творчих потенціях сучасної математики (див. «Penser les mathematiques», Points Sciences-Seuil). Сміливі доктрини, могутній порив, розв’язання давніх математичних проблем, а також застосування в емпіричній практиці строго формалізованих теорій — усе це свідчить про справжній вибух та багатство моделей і результатів. У найостанніші роки було зібрано врожай блискучих, а часто й вирішальних досягнень, і математика не тільки зупинилася в своєму розвитку, а й пережила бурхливий поступ і зробила визначний якісний стрибок. Морис Луа висловлює думки, подібні до тих, які розвиває Жан Дьєдоне, з чиїм дуже промовистим текстом ми ознайомимося нижче.

Але зовсім інших поглядів дотримується Рене Тон, французький математик, член Академії Наук, нагороджений медаллю Філдза за досягнення в математиці: на його думку, наука в цілому, а математика зокрема, переживає період застою. Наш час характеризується безпорадністю теорій, і сучасний поступ мало важить у якісному відношенні. «Завдяки статистиці ми знаємо, що за період від 1950 року й дотепер учених було більше, ніж за всю попередню історію людства! Але чи зможемо ми твердити, що внесок, зроблений у суспільний поступ усією цією армією дослідників, можна порівняти зі здобутками людства в галузі науки за минулі часи? Аж ніяк. Починаючи з п’ятдесятих років ми спостерігаємо стагнацію і застій» ¹.

¹ R. ТНОМ. «Paraboles et catastrophes», Champs-Flammarion, p. 50.

Залишмо читачеві розсудити цю суперечку після ознайомлення з текстом Жана Дьєдоне, який наголошує на потужному розвитку сучасної математики, і з текстом Рене Тона, котрий оцінює її здобутки набагато стриманіше.

РОЗКВІТ СУЧАСНОЇ МАТЕМАТИКИ

«Математика ніколи не ночувала себе ліпше, ніж сьогодні, — як у кількісному, так і в якісному аспектах. /299/

Поговорімо спочатку про аспект кількісний: ось переді мною номер журналу «Математичний огляд» («Mathematical Reviews»), який виходить щомісяця; я повторюю, виходить щомісяця, а не один раз на рік. У 1940 p., коли цей журнал був заснований, він мав близько трьохсот сторінок річного обсягу; сьогодні триста сторінок — це його місячний обсяг. Але не думайте, що там друкуються in extentso ¹ всі математичні праці, написані за цей період. Ні, журнал публікує їх у дуже скороченому вигляді, це, власне, резюме математичних трактатів, більш або менш — залежно від значущості дослідження — пропорційні їхньому обсягу. Кожна сторінка цього тому, в одну четверту аркуша, містить на двох шпальтах у середньому від п’яти до десяти таких резюме. Ось, наприклад, стаття завдовжки в сорок одну сторінку, резюме якої займає півшпальти. Загалом можна сказати, що цей журнал друкує від однієї двадцятої до однієї тридцятої повного обсягу математичних праць; тобто, щомісяця у світі публікується від двох тисяч до двох тисяч із половиною сторінок математичних текстів. Це — з кількісного погляду.

Але вартість математичної праці не визначається вагою паперу й, очевидно, ця друкована продукція нерівноцінна. Я не стану тут обговорювати проблему якості математичних трактатів, бо вона може бути полемічною. В усякому разі, треба відзначити той факт, що найкомпетентніші математики висловлюють одностайну думку, що в тому колосальному кількісному обсязі друкованої математичної продукції є частка якісно бездоганної літератури. Я вважаю незаперечним фактом, що ніколи математики не здобували стільки нових і важливих результатів, як сьогодні, й без перебільшення можна твердити, що від 1940 р. було створено більше фундаментальної математики, аніж за період від Фалеса й до 1940 р. Це можна було б довести, навівши список проблем, які протягом десятків років чи навіть століть лишалися нерозв’заними і які були розв’язані після 1940 р. Отже, з усіх поглядів очевидно, що сьогоднішня математика перебуває в стані небаченого розквіту».

Жан ДЬЄДОНЕ. «Математика беззмістовна і математика значуща» (Jean DIEUDONNE. «Mathematiques vides et mathematiques significatives» in «Penser les mathematigues», Points Sciences-Seuil, 1982, pp. 15 sq.).

¹ Повністю (латин.). /300/

В наступному тексті Рене Тон відповідає на запитання Дж. Джорелло і С. Моріні.

ЗАСТІЙ У МАТЕМАТИЦІ

« — Що ви думаєте [...] про одне з улюблених тверджень Жана Дьєдоне, згідно з яким десь від 1945 р. і до сьогодні математика зробила більший прогрес, ніж за весь історичний період, починаючи від Фалеса і закінчуючи Другою світовою війною? Можливо, математиці і властивий інший вид прогресу або інший ритм зростання, ніж емпіричним наукам?

— На мою думку, висловлювання Дьєдоне більше стосуються кількісного аспекту, ніж якісного. Я, звичайно, зовсім не збираюся принижувати здобутки математики, досягнуті за останні роки. Але якщо, наприклад, за точку відліку ми візьмемо 1964 p., мені буде важко назвати якісь справді визначні успіхи математики за цей період! Крім, можливо, класифікації простих скінченних груп...

Я не бачу тут таких досягнень, які можна було б прирівняти до розвитку алгебраїчної топології в п’ятдесяті роки або розвитку якісних методів динаміки на початку шістдесятих років, пов’язаних з ім’ям Смейла. Я не розумію добре, що саме має на увазі Дьєдоне. Мабуть, поступ у галузі абстрактної геометрії... В усякому разі, впродовж останніх п’ятнадцяти років можна назвати одне дуже й дуже визначне досягнення, яке ми завдячуємо Хіронака: розв’язання особливостей алгебраїчних різноманітностей. Але в зв’язку з цим я хотів би наголосити, що в даному випадку йдеться про поступ передусім суто технічного характеру. Але, безперечно, я не виключаю певного невігластва з мого боку... Я надто відірваний, як я уже зазначав вище, від найновітніших математичних студій».

Рене ТОН. «Параболи і катастрофа» (Rene THOM. «Paraboles et catastrophes», Champs-Flammarion, 1980 — 1983, pp. 48 sq.).

Висновки

«Вище ми вже відзначили, що переконаність у несхитності основ не є необхідною умовою для поступу наук — і передусім це стосується математики, де основи були чи не найдужче розхитані. /301/

Саме цей факт підкреслюється в гумористичних рядках М. Клайна: «Досягнення, свідком яких стало наше сторіччя і які безпосередньо зачепили основи математики, можна резюмувати так: на крутому березі Райну протягом століть височів ґрандіозний замок. У підземеллях замку працьовиті павуки, які влаштували там собі домівку, створили густе плетиво павутини. Та одного дня могутній порив вітру прорвався в підземелля й пошматував павутину. Павуки завзято заходилися залагоджувати заподіяну шкоду. Вони щиро вірили, що це їхня павутина підтримує замок».

Моріс КЛАЙН. «Математика: кінець визначеності» (Morris KLINE. «Mathematiques: la fin des certitudes», Ed. Christian Bourgois, 1980 — 1989, p. 505).