Типологія формул S4 за семантичними ознаками

Всю множину формул у S⁴ за семантичними ознака­ми можна поділити на:

а) закони класичної логіки предикатів;

б) виконувані формули класичної логіки предикатів;

в) невиконувані формули класичної логіки преди­катів.

Відомо, що закон у логічній теорії є формула, яка істинна при будь-яких прийнятих у цій теорії інтерпретаціях нелогі­чних термінів, що входять до складу цієї формули.

У логіці предикатів інтерпретація нелогічних символів здійснюється вибором деякої моделі і приписуван­ням значень предметним змінним φ.

Дефініція логічного закону: «Формула А є законом класичної логіки предикатів, якщо і тільки якщо А приймає значення «істина» в кожній моделі і при будь- якому приписуванні значень предметним змінним».

Закони логіки ще називають загальнозначимими фор­мулами. Позначають їх символом |=А.

Прикладом загальнозначимої формули є вираз:

Обгрунтуємо загальнозначимість цієї формули. Для цьо­го застосуємо метод від супротивного.

Дефініція незагальнозначимої формули. «Формула А не є законом логіки предикатів тоді і тільки тоді, коли існує модель і існує приписування предметним змінним, при яких А приймає значення «хиба».

Щоб показати незагальнозначимість формули, потрібно вибрати модель і приписування φ, при яких ця фо­рмула прийме значення «хиба».

Візьмемо для прикладу формулу:

і покажемо її незагальнозначимість. За область інтерпре­тації U візьмемо множину хімічних елементів. Нехай ін- терпретаційна функція співставляє предикаторній конста­нті Р множину металів. Приписування предметним змін­ним φ може бути довільним, оскільки дана формула є за­мкненою.

Якщо змінній х приписати ім’я «Мідь», то в моделі формула Р(х) буде істинною. Якщо ж змінній х приписати ім’я «Кисень», то Р(х) виявиться хибною фор­мулою. Отже, існує приписування змінній х, при якому

звідси випливає, що

І разом з тим є й друге приписування х, при якому

а це означає, що

Отже, дана формула незагальнозначима.

Дефініція виконуваної формули: «Формула А мови логіки предикатів є виконуваною», якщо і тільки якщо існує модель і приписування значень предметним змінним, при яких А приймає значення «істина».

Звернемося до прикладу.

Ми встановили, що формула є незага-

льнозначимою. Тепер покажемо, що вона є виконуваною.

Для цього виберемо модель і приписування φ, при яких ця формула буде істинною. Функція І співставляє Р порожню множину (наприклад, множину людей, які є жи­телями Місяця), φ знову є довільним. Зрозуміло, що Р не має жодного елементу.

Тому,при приписуванні х будь-якого об’єкту

із U, а звідси випливає, щопри φ. Але якщо

антецедент нашої формули хибний, то вся формула буде істинною:

382

А. Є. Конверський. Логіка

Отже, формула є виконуваною.

Дефініція невиконувано'ї формули: «Формула є невико- нуваною тоді і тільки тоді, коли вона приймає значен­ня «хиба» в кожній моделі і при кожному приписуванні значень предметним змінним».

Візьмемо для прикладу формулу:

Застосуємо міркування від супротивного. Будемо ствер­джувати, що дана формула виконувана. Тоді повинна існу­вати модель і приписування φ, при яких вона істин­на. Наша формула є кон’юнкцією. А це означає, що

5.