Логічні відношення між формулами в S4

До фундаментальних відношень у класичній логіці предикатів відносять:

— відношення сумісності за істинністю,

— відношення сумісності за хибністю і

— відношення логічного слідування.

Дефініція І: «Формули Γ сумісні за істинністю, якщо і тільки якщо існує модель і приписування значень предметним змінним, при яких кожна формула із Γ приймає значення «істина». У протилежному випадку ці формули несумісні за істинністю».

Дефініція П: «Формули Γ сумісні за хибністю, якщо і тільки якщо існує модель і приписування змінним, при яких кожна формула із Γ приймає значення «хиба». У протилежному випадку ці формули несумісні за хибні­стю».

Проілюструємо наведені дефініції на прикладі.

Візьмемо формули:

і покажемо, що вони сумісні за істинністю.

Для цього достатньо вибрати конкретну модель і конкретне приписування φ, при яких обидві формули разом будуть істинні.

За універсум розгляду приймемо множину міст U. Не­хай І співставляє двомісній предикаторній константі R множину таких пар міст, перше із яких південніше друго­го Функція φ приписує вільній предметній змінній у місто Київ, а решті змінним — довільні міста.

Виходить, що в даній моделі при даному приписуванні формули

За допомогою досить простих міркувань можна показа­ти, що формули:

Дефініція Ш. Із множини формул Γ логічно слідує формулаякщо і тільки якщо не існує моделі і

приписування значень предметним змінним, при яких кожна із формул Γ приймає значення «істина», а фор­мули В — значення «хиба».

Проілюструємо наведену дефініцію на прикладі.

6.