1.2. Вращательное движение

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется движение, при котором все точки тела движут­ся по окруж­ности, центры которых лежат на од­ной прямой, называемой осью вра­щения.

При вращательном движении абсолютно твердого тела нельзя поль­­зоваться моделью материальной точ­ки, ибо разные точки тела движутся по окружностям разного радиуса, т.е. их пути и скорости различны (рис. 1.4). В силу этой же причины враще­ние твердого тела (как целого) не может быть охарак­те­ри­зо­ва­но линей­ным переме­щением и линей­ной ско­ростью, как это было сделано в посту­пательном дви­жении. Вместе с тем, нетрудно заметить, что радиусы-век­то­ры, соеди­ня­ющие все точки твер­дого тела с центрами описы­ва­е­мых ими окруж­ностей, пово­ра­чи­­ва­ются за один и тот же про­ме­жу­ток времени на одинаковый угол (см. рис. 1.4). Следовательно, все точки абсо­лют­но твердого тела во вращательном движении проходят одинаковые уг­ло­вые пути и имеют одинаковые угло­вую скорость и уг­ловое ускорение. Поэтому в качестве кинематических характеристик вра­ща­тельного движе­ния тела должны быть выбраны век­тор углового пере­мещения, угловая скорость и угловое ускорение.

При малых поворотах тела угол поворота можно рассматривать как векторную величину , численно равную модулю dj, и направленную вдоль оси вращения ОО^/ так, чтобы из конца вектора поворот тела был виден против часовой стрелки (правило буравчика) (см.

Угловой скоростью тела называют вектор , численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу буравчика, т.е. так же, как вектор угла поворота.

. (1.23)

Угловая скорость характеризует направление и быстроту вращения тела как целого вокруг оси. Если = const, то движение тела называют равномерным вращением вокруг неподвижной оси.

Скорость произвольной точки М тела, вращающегося с угловой скоростью w, называют линейной скоростью этой точки. За время dt точка М проходит по дуге окружности радиуса R путь ds = vdt =Rdj так, что

. (1.24)

Из рис. 1.5 видно, что вектор направлен перпендикулярно и к и к радиусу-вектору в ту же сторону, что и векторное произведение . Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то || = Rw = v.

Следовательно,

. (1.25)

Так как в случае вращения тела вокруг неподвижной оси за начало координат, из которого проводят радиусы-векторы , можно выбрать любую точку оси вращения, то выражение (1.25) можно переписать в виде:

.

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения.

Угловым ускорением называют вектор , характеризующий быстроту изменения угловой скорости со временем и численно равный первой производной угловой скорости по времени:

. (1.27)

В случае вращения тела вокруг неподвижной оси изме­нение вектора обусловлено только изменением его чис­лен­ного значения. При этом вектор направлен вдоль оси вращения (рис. 1.6): в ту же сторону, что и , при уско­рен­­ном вращении () и в про­тиво­полож­ную сторону - при за­мед­лен­ном вращении ().

Наряду с понятием угловой ско­рости пользуются понятиями периода и частоты вращения.

Периодом вращения Т называют промежуток време­ни, в течение которого тело со­вершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2p .

Частотой вращения n называют число оборотов, совершаемых телом за одну секунду.

Связь между w, T и n имеет вид

. (1.28)

Угол поворота в системе СИ измеряется в радианах (рад), угловая скорость - в радианах в секунду (рад/с), угловое ускорение - в радианах в секунду в квадрате (рад/с²).

Выразим тангенциальное и нормальное ускорение произвольной точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, через угловую скорость и угловое ускорение тела:

, (1.29)

.

Из рис. 1.7 и уравнения (1.29) следует, что вектор равен векторному произведению вектора углового ускорения на радиус-вектор , соединяющий произвольную точку на оси вращения с точкой М:

. (1.31)

Вектор нормального ускорения направлен к оси вращения, т. е. в противо­по­ложную сторону от :

. (1.32)

В табл. 1.1, 1.2 сопоставляются характеристики и законы поступательного и вращательного движения материальной точки. Аналитическое и графическое описа­ния этих двух видов движений аналогичные. Кроме того, в таблицах приводятся формулы, связывающие характеристики поступательного и вращатель­ного движений материальной точки. В табл. 1.3 даны единицы измерения кинематических характерис­тик поступательного и вращательного движений.

Таблица 1.1

Сопоставление характеристик

поступательного и вращательного движения материальной точки.

поступательное движение	характеристики	вращательное движение
Путь s Скорость v = ds/dt Тангенциальное ускорение аt = dv/dt Нормальное ускорение аn = v2/R Полное ускорение	s = R j v = R w аt = R e аn= w2 R	Угловой путь j Угловая скорость w = dj/dt Угловое ускорение e = dw/dt

Таблица 1.2

Виды движения (уравнения и графики)

Поступательное движение				Вращательное движение
Равномерное
;;.				;;.
		Окончание табл. 1.2
		Поступательное движение				Вращательное движение
Равнопеременное
; ;				; ;
Неравномерное

Таблица 1.3

Единицы измерения и кинематические характеристики

поступательного и вращательного движений