1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках

При поляризации диэлектрика в каждом небольшом его объеме происходит упорядочение в направлении дипольных моментов его молекул. В результате каждую область диэлектрика можно охарактеризовать некоторым суммарным дипольным моментом (равным векторной сумме дипольных моментов отдельных молекул).

Пусть диэлектрик помещен в однород­ное внешнее электрическое поле . Мыс­лен­но вырежем из диэлектрика прямо­уголь­ный параллелепипед, ребро которого параллельно . Поверхностную плотность поляризационных зарядов на гранях 1 и 2 обо­значим и (рис.

,

где - площадь каждой из граней 1 и 2. Тогда согласно данному определению вектор поляризации:

.

Проекция вектора поляризации на направление нормали к грани 2:

. (1.22)

Уравнение (1.22) можно записать в виде: . Полный поляризационный заряд на поверхности диэлектрика в общем случае определяется поверхностным интегралом:

.

Полученное выражение имеет общий характер. Оно будет справедливо и в случаях, когда поляризационные заряды находятся на неплоских поверхностях и поляризация неоднородна. Итак, проекция вектора поляризации на направление нормали к поверхности равна суммарному заряду, смещенному при поляризации диэлектрика вдоль нормали через единичную площадь. Выражение (1.22) показывает, что вектор поляризации измеряется в .

Теперь рассмотрим применение тео­ре­мы Гаусса для электрического поля в диэлектриках.

, (1.23,а)

где - сумма свободных зарядов, находящихся внутри поверхности , а - сумма нескомпенсированных связанных или поляризационных зарядов, находящихся внутри поверхности .

С другой стороны, из опыта известно, что электрическое поле в диэлектрике уменьшается в некоторое число раз по сравнению с полем в вакууме. Это число называется диэлектрической проницаемостью среды и обозначается e. Величина e зависит только от свойств диэлектрика и не зависит от величины внешнего электрического поля. Такое уменьшение электрического поля в диэлектрике можно было бы учесть, «поправив» теорему Гаусса следующим образом:

.

Выражения (1.23,а) и (1.23,б) – суть одно и тоже. На практике для определения электрического поля в диэлектрических средах, конечно, пользуются выражением (1.23,б), поскольку сумма поляризационных зарядов, попавших внутрь какой-либо поверхности в объеме диэлектрика – величина неизвестная, а величина e для каждого диэлектрика определена экспериментально.

Для описания электрического поля в изотропном диэлектрике вводится вспомогательный вектор:

, (1.24)

называемый вектором электрического смещения. Теорему Гаусса для электрического поля в диэлектриках можно записать через вектор . Простые преобразования выражения (1.23,б) дают следующий результат:

. (1.23,в)

Поскольку в правой части выражения (1.23,в) осталась только сумма свободных зарядов (сравните с формулой 1.23,а), говорят, что вектор электрического смещения характеризует электрическое поле только свободных зарядов (или определяется только свободными зарядами). При одном и том же распределении свободных зарядов этот вектор будет одним и тем же, не зависимо от среды, в которой находятся эти заряды.

Все заряженные объекты, рассматриваемые в примерах 1.3 - 1.6, можно проанализировать теперь и в диэлектрической среде. Для этого нужно использовать теорему Гаусса в виде (1.23,б) или (1.23,в). Естественно, что в полученных результатах для напряженностей и потенциалов всякий раз будет появляться величина диэлектрической проницаемости в знаменателе. Например, поле заряженной плоскости (см. пример 1.3) определяется выражением:

, (1.20,а)

а поле между двумя противоположно заряженными плоскостями (см. пример 1.4):

.

Если полая равномерно заряженная сфера (или металлический шар) (см. пример 1.5) находятся в диэлектрике, то при напряженность электрического поля сферы

,

а потенциал

.

Потенциал самой сферы

.

В заключение отметим, что между тремя векторами , и существует связь, определяемая уравнением:

. (1.25)

Комбинируя (1.24) и (1.25), можно получить:

или: (1.26)

Величина называется поляризуемостью диэлектрика.

В неизотропных диэлектриках, диэлектрические свойства которых зависят от направления, векторы , и не параллельны и уравнения 1,24 и 1.25 не справедливы. Поэтому в общем случае именно уравнение (1.25) является определением вектора электрического смещения.