6.6. Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси х в среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми частотами и амплитудами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распростра­ня­ю­щейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распро­стра­ня­ющейся ей навстречу, будут иметь вид

x₁ = A cos (wt – kx),

(6.20)

x₂ = A cos (wt + kx).

Сложив эти уравнения и учитывая, что k = 2p/l, получим

x = x₁+x₂ = 2Acos kx cos wt = 2A cos (2px/l) cos wt . (6.21)

Выражение (6.21) представляет собой уравнение стоячей волны. Из этого уравнения следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания одной и той же частоты w с амплитудой А_ст = ê2А cos (2px/l) ê, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В точках среды, где

2px/l = ± mp (m = 0, 1, 2, …) , (6.22)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где

2px/l = ± (m +p/2) (m = 0, 1, 2, …) (6.23)

амплитуда колебаний обращается в нуль.

Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (А_ст = 2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (А_ст = 0), - узлами стоячей волны. Точки среды, находящихся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (6.22) и (6.23) получим соответственно координаты пучностей и узлов:

(m = 0, 1, 2, …) ; (6.24)

(m = 0, 1, 2, …) .

Из формул (6.24) и (6.25) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны l/2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно l/4.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, с одинаковыми фазами. При переходе через узел множитель 2A cos (2px /l) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Образование стоячих волн наблюдается при интерференции бегущей и отраженной волн. Что будет ли на границе отражения - узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность (рис. 6.3,а), если более плотная – узел (рис. 6.3,б). В случае стоячей волны переноса энергии не наблюдается.